全等三角形——截长补短法

DCBA全等三角形——截长补短法一、知识梳理：截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等.补短法（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……二、典型例题：例1、如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数.及时练习：如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．例2、已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．NEBMADMDCBADOECBA及时练习：如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?例3、如图．已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．及时练习：如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=a，AD=h，CB=k，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()A.aB.kC.2khD.h例4、以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O．求证：OA平分DOE．NMDCBAEDCBAPQCBA及时练习：如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．三、课堂练习：1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。3、如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BPCDBADCBAP21DCBADCBA4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC四、课外作业：1.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.FEDCBA2.如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MNDM且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMA3.如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证：AC＝BC＋DC．4.如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长．DNMCBA5.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE.CEDBA6.若P为ABC所在平面上一点，且120APBBPCCPA，则点P叫做ABC的费马点．如图，在锐角ABC外侧作等边ACB′，连结BB′．求证：BB′过ABC的费马点P，且BBPAPBPC′．B'CBA