第7章-气体动理论习题解答

第7章气体动理论7.1基本要求1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。7.2基本概念1平衡态系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。2物态参量描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p、体积V和温度T3温度宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。4自由度确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i表示。5内能理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2iERT6最概然速率速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p表示，221.41pkTRTRTmMM，其物理意义为在一定温度下，分布在速率p附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。7平均速率各个分子速率的统计平均值，用表示，881.60kTRTRTmMM8方均根速率各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rms表示，331.73rmskTRTRTmMM9平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:212Zdn或22kTdp7.3基本规律1理想气体的物态方程pVRT或'mpVRTMpVNkT或pnkT2理想气体的压强公式23kpn3理想气体的温度公式21322kmkT4能量按自由度均分定理在温度为T的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12kT5麦克斯韦气体分子速率分布律（1）速率分布函数()dNfNd表示在速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。（2）麦克斯韦速率分布律23/222()4()2mkTmfekT这一分布函数表明，在气体的种类及温度确定之后，各个速率区间内的分子数占总分子数的百分比是确定的。麦克斯韦速率分布曲线的特点是：对于同一种气体，温度越高，速率分布曲线越平坦；而在相同温度下的不同气体，分子质量越大的，分布曲线宽度越窄，高度越大，整个曲线比质量小的显得陡。7.4学习指导1重点解析压强公式是气体动理论的基本方程之一，是本章的重点之一。这一公式的推导过程体现了气体动理论研究问题的思路，其要点是建立理想气体微观模型和运用统计平均的方法。对压强的理解应注意：气体压强的产生是由于气体分子无规则热运动对器壁碰撞的结果，而不是由于分子有重量。具体地说，压强是容器中大量气体分子在单位时间内施于器壁单位面积上的平均冲量。压强必须是对大量分子而言的，对于个别分子或少数分子而言是没有意义的，也就是说压强具有统计意义。就时间尺度而言，压强必须对应足够长的时间，在这段时间内发生大量的分子碰撞，就空间范围而言，压强必须对应足够大的面积，在这一面积上发生大量的分子碰撞。作为一个统计平均值，压强有涨落，即相对平均值有一定偏差。虽然气体压强可以由实验测定，但分子的平均平动动能无法直接测量，因而压强公式是不能用实验来验证的。尽管如此，压强公式给出的结论及其推论却能够对气体中的许多现象和规律作出较圆满的解释，并为实验所证实。这就表明，压强公式在一定范围内的正确性是不容置疑的。温度公式也是气体动理论的基本方程之一，是本章的又一重点。它给出了温度与分子平均平动动能的对应关系，表明了理想气体的温度是气体分子的平均平动动能的量度这一物理涵义，对认识温度的微观本质提供了理论依据，温度反映了气体分子无规则热运动的剧烈程度。温度和压强一样具有统计意义，由于分子的平均平动动能是统计平均值，因而温度是大量分子无规则热运动的集体表现，对个别分子或少数分子是没有意义的。理想气体的内能及其计算也是这一章的重点内容。理解内能的概念应明确两方面的意义。一是内能的微观本质，理想气体的内能就是组成气体的各个分子的各种形式的动能的总和，这也体现了能量的叠加性。二是内能这一宏观量的性质。内能是热力学状态的函数，其变化与过程无关。一定量的内能只能是由温度来决定，即理想气体的内能是温度的单值函数。内能不同于机械能，机械能是物体机械运动状态或力学状态的函数。比如静止在地面上的物体，其机械能为零，但其内能并不为零。内能与物体中全部分子的微观运动相联系，机械能与物体整体的宏观运动相联系。内能和机械能是不同形式的能量，它们可以相互转化。2难点释疑对平衡态的理解是本章的一个难点。平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。在平衡态中，表征气体状态的一组参量（P、V、T）具有确定的值。如果不受外界影响，那么不论多长时间，这些参量都将保持不变。系统内部也不会有诸如扩散、导热、电离或化学反应等宏观过程发生。但从微观上看，气体处于平衡态时，组成系统的分子仍将永不停息地作无规则热运动，但分子运动的平均效果不随时间变化，具体表现为宏观上的密度、温度和压强处处均匀，因此平衡态也被称为热动平衡。热力学系统的平衡态与力学中的平衡是两个完全不同的概念。力学中的平衡是指系统所受合外力为零的状态，而热力学中的平衡态指系统的宏观性质不随时间变化的状态，或者说是系统的状态参量具有确定的量值的状态。所以，它们的物理意义是截然不同的。平衡态是一个理想概念。实际上，容器中的气体总会不可避免地与外界发生程度不同的能量和物质交换，理想化了的完全不受外界影响的平衡态是难以存在的。平衡态只是当气体的变化很微小，以致可以忽略不计时，可以近似地看成一个理想状态。对气体分子速率分布律的理解是本章的另一个难点。气体分子速率分布律是气体分子热运动的速率所服从的统计规律。某时刻各个分子的速率大小不同，且具有偶然性，但由大量分子组成的系统处于平衡态时，却表现出统计规律性。气体分子速率分布律的应用是有条件的，它只适用大量分子组成的处于平衡态的系统，对由少数分子组成的系统或处于非平衡态的系统，该定律不成立。由于气体分子热运动的无规则性，不可能给出某个分子速率的精确值，而只能说它在某个速率区间内的分子数占总分子数的比率。气体分子速率分布函数的归一化条件是指分子在整个速度区间的概率总和应等于1，即分子的速率必然处于这一速率区间。7.5习题解答7.1一定量的理想气体可以：(A)保持压强和温度不变同时减小体积；(B)保持体积和温度不变同时增大压强；(C)保持体积不变同时增大压强降低温度；(D)保持温度不变同时增大体积降低压强。解由理想气体物态方程'mpVRTM可知正确答案选D。7.2设某理想气体体积为V，压强为P，温度为T，每个分子的质量为m，玻尔兹曼常数为k，则该气体的分子总数可以表示为(A)PVkm(B)PTmV(C)kTPV(D)kVPT解由理想气体物态方程pVNkT可得气体的分子总数可以表示为PVNkT，故答案选C。7.3关于温度的意义，有下列几种说法：（1）气体的温度是分子平均平动动能的量度；（2）气体的温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计意义；（3）温度的高低反映物质内部分子运动剧烈程度的不同；（4）从微观上看，气体的温度表示每个气体分子的冷热程度；上述说法中正确的是：（A）(1)、（2）、（4）.（B）(1)、（2）、（3）.（C）(2)、（3）、（4）.（D）(1)、（3）、（4）.解理想气体温度公式21322kmkT给出了温度与分子平均平动动能的关系，表明温度是气体分子的平均平动动能的量度。温度越高，分子的平均平动动能越大，分子热运动越剧烈。因此，温度反映的是气体分子无规则热运动的剧烈程度。由于k是统计平均值，因而温度具有统计意义，是大量分子无规则热运动的集体表现，对个别分子或少数分子是没有意义的。故答案选B。7.4设某种气体的分子速率分布函数为)(vf，则速率在1v~2v区间内的分子平均速率为：（A）21dvvv)v(vf（B）21dvvv)v(vfv（C）2121ddvvvvv)v(fv)v(vf（D）0dd21v)v(fv)v(vfvv解速率分布函数f(v)的物理意义是表示速率分布在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比，由()dNfNd可得()dNNfd，所以2211()dvvvvdNNfvv表示速率分布在v1~v2区间内的分子数，而2211()dvvvvvdNNvfvv表示速率分布在v1~v2区间内的分子的速率总和，因此速率在1v~2v区间内的分子平均速率为222111222111()d()d()d()dvvvvvvvvvvvvvdNNvfvvvfvvdNNfvvfvv，故答案选C7.5摩尔数相同的氢气和氦气，如果它们的温度相同，则两气体：(A)内能必相等；(B)分子的平均动能必相同；(C)分子的平均平动动能必相同；(D)分子的平均转动动能必相同。解因摩尔数相同的氢气和氦气自由度数不同，所以由理想气体的内能公式2iERT可知内能不相等；又由理想气体温度公式21322kmkT可知分子的平均平动动能必然相同，故答案选C。7.6在标准状态下，体积比为1:2的氧气和氦气（均视为理想气体）相混合，混合气体中氧气和氦气的内能之比为：(A)1:2(B)5:3(C)5:6(D)10:3解氧气和氦气均在标准状态下，二者温度和压强都相同，而氧气的自由度数为5、氦气的自由度数为3，将物态方程pVRT代入内能公式2iERT可得2iEpV，所以氧气和氦气的内能之比为5:6，故答案选C。7.7一定量的理想气体，在温度不变的条件下，当体积增大时，分子的平均碰撞频率Z和平均自由程的变化情况是：(A)Z减小而不变．(B)Z减小而增大．(C)Z增大而减小．(D)Z不变而增大．解在温度不变的条件下，由物态方程pVRT可知体积增大时，压强减小，所以由pnkT可得气体分子数密度n减小，再由平均碰撞频率ndZ22和平均自由程nd221得Z减小而增大。故答案选B。7.8A、B、C三个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为nA∶nB∶nC＝4:2:1，而分子的平均平动动能之比为kA∶kB∶kC＝1:2:4，则它们的压强之比Ap∶Bp∶Cp＝_________。解由理想气体分子的压强公式23kpn可得压强之比为：Ap∶Bp∶Cp＝nAkA∶nBkB∶nCkC＝1∶1∶17.9某种理想气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的算术平均速率，则T2∶T1=_________。解因气体分子的方均根速率23RTvM和算术平均速率8RTvM，由题意13RTM28RTM，所以2138TT7.10用总分子数N、气体分子速率和速率分布函数()f表示下列各量：(1)速率大于0的分子数＝_________；(2)速率大于0的那些分子的平均速率＝_________；(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于0的概率＝_________。解由速率分布函数()dNfvNdv可得()dNNfd，dN表示~vvdv区间内的分子数，所以（1）速率大于0的分子数，即0~v区间内的分子数为:00()vvdNNfvdv（2）速率大于0的分子的平均速率：000000()()()()vvvvvvvdNvNfvdvvfvdvvdNNfvdvfvdv（3）某一分子的速率大于0的概率，即分子速率处于0~v区间内的概率，应为0~v区间内的分子数占总分子数的百分比，即：000