第一章----波动方程

数学物理方程主讲教师：王术北京工业大学应用数理学院[e-mail]:６７３９２２１２（Ｏ）教材：《数学物理方程》（第二版）谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基编著，北京：高等教育出版社，2002年7月参考书：《数学物理方程》陈恕行、秦铁虎、周忆编著，上海：复旦大学出版社，2003年9月姜礼尚等编，北京：高等教育出版社，１９９６年１２月引言一、什么是数学物理方程？偏微分方程：偏微分方程的阶：从物理、力学等实际问题中产生的函数方程，主要是偏微分方程或积分方程。含有两个或两个以上自变量和未知函数以及未知函数的偏导数的关系式。方程中所含偏导数的最高阶阶数。线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶偏导数都是线性的。非线性偏微分方程：不是线性的偏微分方程。两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：111222122,(0.1)xxxyyyxyauauaububucuf如果0,f则称（0.1）为齐次方程；否则为非齐次方程。二、偏微分方程的解三、偏微分方程的研究方法一般步骤（从宇宙探星谈起）：1、将物理问题归结为数学上的定解问题；2、求解定解问题；3、对求得的解给出物理解释。四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念1、存在性2、唯一性3、稳定性如果一个定解问题的解是存在的、唯一的，而且是稳定的，则称该定解问题是适定的。五、微分方程的重要作用可以说有了微积分，就有了微分方程（微积分是17世纪为了解决物理、力学、天体问题而产生的，而这些问题多为数学物理方程）。微分方程在自然现象、军事科技和国民经济中发挥着重要的作用，现举例如下：1、导弹动力学弹道方程组cossinsincoscossincdvmPQmgdtdmPYmgdtdxvdtdyvdtdmmdt其中导弹质量v导弹速度m()t弹道倾角xycm飞行路程飞行高度推进剂秒流量,,,,PQYg分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂直平面上的投影，重力加速度注意：在弹道设计中，求解动力学弹道的目的是为了得到,,xyv三个参数，以便对射程、导引方法及燃料添置等方案进行选择2、金融数学（金融工程期权定价模型）在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：在到期日，当股票价格（行使价格）时，则按TTSXXX222212fffrSSrftSS(,)|max{,0}tTTfStSXT欧式卖出期权的行使办法是：在到期日，当股票价格（行使价格）时，则按卖出股票，否则不行使期权。TSX1973年布莱克（Black）和休尔斯（Scholes）建立了倒向微分方程决定欧式期权的无套利价格：这里，对买入期权有；对卖出期权有(,)|max{,0}tTTfStXS。其中rSX(,)fSt为无风险利率，为股票价格，为期权的行使价格，S为基于的期权价格。3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、海啸模型）1222212222()()0()()HuHvtxxuuuuuvuvfuggtxyxcHvvvvuvuvfuggtxyycH其中平均海平面下水深；海平面相对平均海平面的高度；垂直平均流速的分量几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、量子力学、生物人口模型、最优控制论等等,xyh,uvHh总水深；复习：牛顿运动定律、质量守恒定律、动量守恒定律、热量守恒定律等基本的物理定律？冲量、动量等概念？0xyu练习：求解下列二阶偏微分方程本学期（数学物理方程）学习的基本内容：一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程和调和方程)定解问题的1、适定性2、基本求解方法3、解的性质等二、二阶线性偏微分方程的分类注：弦振动方程也叫波动方程第一章波动方程第一节方程的导出和定解条件一、方程的导出（以弦振动为例）：一根拉紧的均匀柔软的细弦，两端固定，长为，在外力作用下，弦在平衡位置附近作微小的横振动－振动方向与弦的平衡位置垂直。模型：问题：研究弦上各点的运动规律。l分析：（理想化假设）u（1）弦是均匀的：线密度是常数；细弦：横截面直径与弦的长度相比可以忽略。（2）弦是柔软的：弦在离开平衡位置时各点均不抵抗弯曲，弦的张力方向沿着弦的切线方向；（3）弦作微小横振动：弦的位置在同一平面内作微小变化（|ux|1）；弦上各点的位移与平衡位置垂直（位移沿u轴方向）。拉紧：在弹性范围内，满足Hook（胡克）定律。建立坐标系：以弦的平衡位置为轴，在弦作振动的平面上与轴垂直的方向为轴。以表示弦上点在时刻垂直于轴方向的位移u(,)uxtxxxxt对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的切线和横轴的夹角）很小。即假定sin,cos1,tan22222()()1()1(tan)1dudsdxdudxdxdxdxdx在这种假设下，有：（1）弦的伸长可忽略不计（2）弦上各点的张力是常数112212coscosTTTTT由于弦做横振动，弦沿轴无运动，所以合力为零x动量守恒定律：物体在某一时段内动量的增量等于作用在该物体上所有外力在该时段内所产生冲量[,]ttt下面使用动量守恒定律推到一维弦振动方程：在弦上任取小段，考察弦段在时段内冲量和动量的变化情况[,]xxx动量守恒：动量t=t+t|动量t=t|所有外力产生的冲量[t,t+t]|(,)vxtdx(,)Fxtdt动量微元为冲量微元为情形一：弦不受外力作用时一方面，计算动量守恒公式左边动量的变化量：在时刻弦段的动量为[,]xxxt(,)xxxuxtdxt在时刻弦段的动量为[,]xxxtt(,)xxxuxttdxt从时刻到时刻弦段的动量增加量为ttt[,]xxx(,)(,)[]xxxuxttuxtdxtt另一方面，计算动量守恒公式中右边弦段所受外力在时段产生的冲量[,]xxx[,]ttt对于弦段张力在轴的垂直方向的合力为[,]xxxx2121sinsintantan(,)(,)(,)(,)[]TTTTuxxtuxtTTxxuxxtuxtTxx从而在时段该合力产生的冲量为(,)(,)[]tttuxxtuxtTdtxx由动量守恒定律可得(,)(,)[]tttuxxtuxtTdtxx(,)(,)[]xxxuxttuxtdxtt=2222(,)(,)(1.1)ttxxxxtttxxtuxtuxtTdxdtdtdxxt2222(,)(,)ttxxttxxtxtxuxtuxtTdxdtdxdtxt即由的任意性知,xt2222(,)(,)0uxtuxtTtx或22222(,)(,)0,(1.2)uxtuxtatx这就是不受外力作用下的弦振动所满足的方程！其中20Ta情形二：存在外力作用时设作用在点处的外力线密度为，其方向垂直于轴，则小弦段所受的外力为(,)xxxFxtdx[,]xxx(,)Fxtxx其在时段产生的冲量为(,)ttxxtxFxtdxdt[,]ttt于是方程（1.1）的左端应该增加这一项得到2222(,)(,)[(,)]0ttxxtxuxtuxtTFxtdxdtxt这样外力作用下的弦振动方程为22222(,)(,)(,),(1.3)uxtuxtafxttx其中表示单位质量在点处时刻所受的外力。xtFf无外力作用的一维弦振动方程：222220(1.4)uuatx外力作用下的弦振动方程：22222(,)(1.5)uuafxttx2,,TFaff其中称为非齐次项（自由项）。总之：注：弦振动方程也叫波动方程，因为它描述的是一种振动或波动现象，后面将给出解释。注：类似地，可以推导二维波动方程（如薄膜振动）和三维波动方程（如电磁波、声波的传播等）。它们的形式为：2222222()(,,)(1.6)uuuafxyttxy222222222()(,,,)(1.7)uuuuafxyzttxyz一般地，维波动方程可写为n222(,),,0,(1.8)nuaufxtxRtt其中221niix表示n维拉普拉斯算子注许多物理现象都可以用弦振动方程来描述！例如：杆的纵振动模型问题：均匀细杆在外力作用下沿杆长方向做微小振动解答：取杆长方向为轴，表示处的杆截面在时刻沿杆长方向的位移胡克（Hook）定律：NES其中，为端面受力，为端面面积，为应力，为杨氏模量，为相对伸长率NSNSlimxuuxxEtx(,)uxtx2Ea结论：满足方程（1.5），其中(,)uxt（动量守恒定律的应用）二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：(,0)(),0,(1.11)(,0)(),0,uxxxluxxxlt边界条件：1、第一边界条件（Dirichlet边界条件）12(0,)(),(,)(),0,(1.12)utgtultgtt特别地：时，称弦两端固定。12()()0gtgt2、第二边界条件（Neumann边界条件）120(),(),0,(1.13)xxluuTgtTgttxx12()()0gtgt特别地：时，称弦具有自由端。3、第三边界条件(Dirichlet-Neumann混合边界条件)11022(0,)(),0,(1.14)(,)(),0,xxluTutgttxuTultgttx特别地：时，称弦两端固定在弹性支承。12()()0gtgt2222211(,),0,0,(,0)(),(,0)(),0,(0,)(),(,)(),0.tuuafxtxlttxuxxuxxxlutgtultgtt弦振动方程的初边值问题（也叫混合问题）：定解问题：由偏微分方程和定解条件联立所得到的问题。22222(,),,0,(,0)(),(,0)(),.tuuafxtxttxuxxuxxx弦振动方程的初值问题（也叫柯西(Cauchy)问题）：注：混合问题和柯西问题是两类基本的定解问题质量守恒：动量守恒：能量守恒：2ttD的质量1ttD的质量12[,tt]流入的质量通过边界SD12[,tt]内部源产生的质量12[,tt]动量的增加量上D内12[,tt]S流入的质量产生的动量上通过V的边界12[,tt]产生的冲量上外力动量→能量；冲量→功()01()0()0tttvvvvppevevEuler方程：可压Navier-Stokes方程：()0())()(ttvvvvvpvf不可压Navier-Stokes方程：(0))(tvvpvvvvf第二节达朗贝尔公式、波的传播22222(,),,0(2.1)0:(),(),,tuuafxtxttxtuxuxx2.1初值问题与两个基本物理原理考虑初值问题：齐次与非齐次问题222220,,0()(2.2)0:(),(),,tuuaxtItxtuxuxx