三角形的旁心

三角形的旁心（本讲适合高中）三角形旁切圆的圆心，简称三角形的旁心，它是三角形一个内角的平分线和两个内角的外角的平分线的交点.显然，任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心.鉴于三角形旁心的位置关系（都在形外）和数量关系（存在三个），决定了它具有许多有用的几何性质，本文仅给出3条.性质1旁心与内心关系密切.若三角形中同时出现内心、旁心，就构成了三组三点共线，三组三点共圆.如图，I为△ABC的内心，IA、IB、IC是△ABC的三个旁心.显然，A、I、IA，B、I、IB，C、I、IC分别三点共线，同时，一个外心与内心及其所夹的边的两个端点共圆，如图中的I、B、IA、C.注意，IAI、IBI、ICI的中点D、E、F（即三个圆的圆心）都在△ABC的外接圆上，这一点对于利用内心来确定旁心的位置大有作用.性质2旁心与半周长（p）形影不离.如图，IA是△ABC的一个旁心，作IAE⊥AB于点E，IAF⊥AC于F，IAD⊥BC于点D.易得BE=BD,CF=CDAE=AFAE+AF=(AB+BD)+(AC+CD)=AB+BC+AC故AE=AF=p△ABC性质3旁心与三角形的三个顶点构成三组三点共线.如图,IA、IB、IC分别是△ABC的三个旁心.由于AIB、AIC是对顶角的平分线亦为反向延长线，故IB、A、IC三点共线.同样地，IA、C、IB和IA、B、IC分别三点共线.如图，由熟知的内心张角公式∠BIC=90°+21∠BAC又∵I、B、IA、C四点共圆∴∠BIAC=180°-∠BIC=90°-21∠BAC同理，∠AIBC=90°-21∠ABC∠AICB=90°-21∠ACB这是旁心的张角公式，它保证了以旁心为顶点的△IAIBIC必是一个锐角三角形.三角形的旁切圆半径在△ABC中，设点A、B、C的对边分别是a、b、c，AF=p=21cba所以AAFAEIprprSA21*2图中又有AABCCDIBDIABCFAEIrSSSSSAAAa22容易得出cbSAa2r类似地，cb-a2SrBcbaSC2r这就是三角形旁切圆的半径公式。