浙教版初二数学全等三角形判定典型解法

-1-三角形全等的判定方法类型之一:已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE、AC=DF、BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。类型之二:已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB。求证：AB=DC。【答案】证明：类型之三:已知：在△ABC中，AD为BC边上的中线，CE⊥AD，BF⊥AD。求证：CE=BF类型之四:综合已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，∠A=∠D。求证：∠B=∠E。【答案】证明：1.已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。证明：2.已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。ABCD12ABCDFE-2-1．如图两根长度相同的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？说明你的理由．【答案】相等．证明：∵由题意AO⊥BC∴∠AOB＝∠AOC＝90°∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL）∴BO＝CO2．已知：如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BE⊥AC。【解析】本题考察“HL”公理的应用。要证BE⊥AC，可证∠C+∠1=90°，而∠2+∠1=90°，只需证∠2=∠C。从而转化为证明它们所在的△BDF与△ADC全等，而这由“HL”公理不难得证。【答案】证明：∵AD⊥BC∴∠BDA=∠ADC=90°∴∠1+∠2=90°在Rt△BDF和Rt△ADC中CDFDACBF∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠2=∠C∴∠1+∠C=90°∴∠BEC=90°∴BE⊥AC1.已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：∠CAD=∠DBC。ABCDEF12-3-证明：在△ABC和△BAD中，)()()(已知已知公共边BDACDBACABABAB∴△ABC≌△BAD（SAS）∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。2.已知，如图，HI∥BC，JI∥AB。求证：△BIH≌△IBJ【解析】从已知寻找三角形全等的条件：由平行，可以得角等，又有一组公共边，因此选择用角边角公理可证明。【答案】证明：∵HI∥BC∴∠HIB=∠JBI（两直线平行，内错角相等）∵JI∥BA∴∠HBI=∠JIB（两直线平行，内错角相等）∴在△BIH与△BIJ中)()()(已证公共边已证JIBHBIBIBIJBIHIB∴△BIH≌△BIJ（ASA）1.已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。【解析】要证AF=DE，可证△AFB与△DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证△AEB与△DFC全等。【答案】证明：∵CE=FB∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE在△AEB和△DFC中：ABCDFE-4-CFBEDFAECDAB∴△AEB≌△DFC（SSS）∴∠B=∠C在△AFB和△DEC中：CEBFCBCDAB∴△AFB≌△DEC（SAS）∴AF=DE2.已知：如图，△ABC中，D是BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。【解析】此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1=∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。【答案】证明：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∵∠1=∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）∵D是BC的中点∴BD=CD∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴∠BED=90°，∠CFD=90°在Rt△BDE和Rt△CDF中DFDECDBD∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）∴BE=CF同理可证AE=AF∴AE+BE=AF+CF即AB=AC课时作业：1、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC-5-2、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。OA=OB，OC=OD3、指出下图中的全等三角形各有几对，分别是哪些三角形。△ABC中，AB=AC，AE=AF，AD⊥BC于D4、判断()1.三个角对应相等的两个三角形全等.()2.顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等.()3.全等三角形对应的中线相等.()4.有一边相等的两个等腰直角三角形全等.5、△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠B′，AB=B′C′，增加条件可使△ABC≌△B′C′A′(ASA).6、△ABC中∠C=90°,BC＞AC，E在BC上，且BE=EA.∠CAE∶∠B=4∶7,则∠CEA=_____.7、△ABC中，∠C=90°，BE为角平分线，ED⊥AB于D，若AE+ED=5cm,则AC=_______.8、四边形ABCD中，边AB=DC，AD=BC，∠B=40°,则∠C=.9、△ABC中，AB=AC，两中线BE，CF交于O，则按条件所作图形中共有对全等三角形.10、如图，AC⊥BE,AC=CE,CB=CF，把△EFC绕点C逆时针旋转90°,E落在______点上，F落在点上.B等级11、判断-6-()1.全等三角形的对应角相等，反之也成立.()2.周长为16,一边长为5的两个等腰三角形全等.()3.有两个角及一条边相等的两个三角形全等.()4.有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.12、BP为∠ABC平分线，D在BP上，PA⊥BA于A，PC⊥BC于C，若∠ADP=35°，则∠BDC=。13、若△ABC≌△A′B′C′,且AB=10cm，BC=6cm,则A′C′的取值范围为.14、在△ABC和△DEF中，∠C=∠D，∠B=∠E，要使两三角形全等，需增加条件()A.AB=EDB.AB=FDC,AC=FDD.∠A=∠F15、下列条件能判断△ABC≌△DEF的是()A.∠A=∠D,∠C=∠F,∠B=∠EB.∠A=∠D,AB+AC=DE+DFB.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFD.∠A=∠D,AC=DF,BC=EF16、△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7,则点D到AB的距离为()A.18cmB.16cmC.14cmD.12cm17、∠MON的边OM上有两点A、C，ON上有两点B、D，且OA=OB，OC=OD，AD，BC交于E，则①△OAD≌△OBC，②△ACE≌△BDE，③连OE.则OE平分∠AOB，以上结论()A.只有一个正确B.只有一个不正确C.都正确D.都不正确18、△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD为角平分线，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm19、B为AC上一点，在AC同侧作等边△EAB及等边△DBC,那么下列式子错误的是()A.△ABD≌△EBCB.∠BDA=∠BCEC.△ABE≌△BCDD.若BE交AD于M，CE交BD于N，那么△NBC≌△MBD20、线段OD=DC，A在OC上，B在OD上，且OA=OB，OC=OD，∠COD=60°，∠C=25，AC，BC交于E，则∠BED的度数是()A.60°B.70°C.80°D.50°C等级21、已知：△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，连结DE、EF，∠ADE=∠EFC，∠AED=∠ACB，DE=FC。-7-求证：△ADE≌△EFC22、已知：△ABC是等边三角形，∠GAB=∠HBC=∠DCA，∠GBA=∠HCB=∠DAC。求证：△ABG≌△BCH≌△CAD。23、已知：如图∠1=∠2，∠3=∠4，求证：△ABC≌△ABD。24、已知：AB=CD，AB∥DC。求证：△ABC≌△CDA。25、已知：DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD。求证：DE=BC。26、已知：△ABC中，AB=AC，D、E分别为AB、AC的中点。求证：∠ABE=∠ACD。-8-27、已知：如图AC=BD，∠CAB=∠DBA。求证：∠CAD=∠DBC。28、如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证：AB∥CD．29、如图，AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，且AE=DF，AB=DC，求证：∠ABC=∠DCB.A等级答案1．3对，△ADE≌△ADF，△DBE≌△DCF，△BDA≌△CDA2．3对，△OEC≌△OED，△ECA≌△EDB，△OEA≌△OEB3．3对，△ABD≌△ACD，△AED≌△AFD，△ABE≌△ACF4．1.）×2.）√3.）√4.）×5．∠B=∠C′6．70°7．5cm8．140°-9-9．310．A、BB等级答案11．1.）×2.）×3.）×4.）√12．7.145°13．4＜A′C′＜1614．C15．C16．C17．C18．B19．C20．BC等级答案21．在△ADE与△EFC中ACBAEDFCDEEFCADE∴△ADE≌△EFC（ASA）22．∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=CA在△ABG与△BCH中HCBGBABCABHBCGAB∴△ABG≌△BCH（ASA）同理可证：△BCH≌△CAD∴△ABG≌△BCH≌△CAD23．∵∠ABC与∠3互补，∠ABD与∠4互补，又∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD-10-在△ABC与△ABD中ABDABCABAB21∴△ABC≌△ABD（ASA）24．∵AB∥CD∴∠1=∠2在△ABC与△CDA中CAACCDAB21∴△ABC≌△CDA（SAS）25．∵DA⊥AB，CA⊥AE∴∠DAB=∠EAC∴∠CAB=∠DAE∴在△CAB与△EAD中AEABEADCABADCA∴△CAB≌△EAD（SAS）∴DE=BC26．∵AB=ACD、E分别为AB、AC中点∴AD=AE∴在△ADC与△AEB中ABACAAAEAD∴△ADC≌△AEB（SAS）∴∠ABE=∠ACD-11-27．证明：在△ABC和△BAD中，)()()(已知已知公共边BDACDBACABABAB∴△ABC≌△BAD（SAS）∴∠CBA=∠DAB（全等三角形对应角相等）又∵∠CAB=∠DBA（已知）∴∠CAB-∠DAB=∠DBA-∠CBA（等量减等量差相等）∴∠CAD=∠DBC。28．因为CE=BF，所以CE+EF=BF+EF，即BE=CF，在Rt△AEB和Rt△DCF中，,,ABCDBECF所以△ABE≌△DCF，所以∠B=∠C，所以AB∥CD．29．因为AE⊥BC，DF⊥BC，所以在Rt△ABE和Rt△DCF中，所以Rt△ABE≌Rt△DCF，所以∠ABC=∠DCB．