拉普拉斯变换

拉普拉斯变换(theLaplaceTransform)1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换傅里叶分析具有清晰的物理意义，但某些信号的傅里叶变换不存在(t0,无意义的函数)。引入拉普拉斯变换，从而也可以对这些信号进行分析。拉普拉斯变换实质是将信号f(t)乘以衰减因子e-st的傅里叶分析。1.单边拉普拉斯变换的定义dtetfsFtfLst--0)()()]([2、单边拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换存在的充分条件为：Rdtetft--ss0)(0ROC)(ss为：的sFswj0s0收敛域拉普拉斯变换基本信号的拉普拉斯变换eltu(t)（l为复常数）--dteetueLsttt0)]([lll-s1)Re()Re(lsstuL1)]([0)Re(s01)(0wwjstuetj-0001]sin[cos2020wwsjs)]()[cos(0tutLw202wss0)Re(s)]()[sin(0tutLw2020wws0)Re(s1)线性特性(linearity)若111)Re()()(sssFtfL222)Re()()(sssFtfL则有),max()Re()()()()(2122112211ssssFasFatfatfaL例：求信号f(t)=u(t)-u(t-1)的Laplace变换。sesFs--1)(-)Re(s单边拉普拉斯的基本性质(propertiesofLaplaceTransform)2)展缩特性（timescaling）若0)Re()()(sssFtfL则有0)Re(,0)(1)(sasaasFaatfLdteatftfLst--0)()]([dtetfatas--0)(1)(1asFa收敛域：Re(s/a)s0Re(s)as0变换。的其它例：求信号Laplace00sin)(tttf)()sin()()sin()(--tuttuttf11)(2-sesFs-)Re(s3)时移特性（TimeShifting）若则有0)Re()()(sssFtfL)()()(000sFettuttfstL---00)Re(,0sst例：单边周期信号的Laplace变换。0T2T3Ttf(t)单边周期信号单边周期信号的定义：f(t)=f(t+nT);t0,n=0,1,2,...其它定义：00)()(1Tttftf)()()(10kTtukTtftfk--)()]([10sFetfLskTk-sTesF--1)(1Re(s)0例：求如图所示周期方波的Laplace变换。012tf(t)周期方波信号3451setutuLs----1)]1()([)1(1111)(2sssesesesF-----Re(s)04)卷积特性（convolution）若111)Re()()(sssFtfL222)Re()()(sssFtfL则有),max()Re()()()()(212121ssssFsFtftfLdtedtfftftfLst--))()(()]()([210021ddtetffst))()((2010--desFfs-)()(210)()(21sFsF例：利用拉氏变换计算f(t)=e-atu(t)e-btu(t)ab))((1)]([basstfLbasBsAsF)(aa-sssFA))((ba-1bb-sssFB))((ab-1)()(1)(tueetfttbaba----5)频域位移----指数加权特性（s-domainshift）若0)Re()()(sssFtfL则有lsll--0)Re()()(ssFtfeLtdtetftfeLtst)(0)()]([--ll证：)(lsF)](cos[0tuteLt-wl202)(wllssRe(s)-ldtetfsFst----)()(0证：dtettfdssdFst---)()(0)]([ttfL6)线性加权性质---s域微分（differentiationinthes-domain）若则有0)Re()()(sssFtfL0)Re()()(s-sdssdFttfL例：stuL1)]([Re(s)0)1()]([sdsdttuL-21s)1()]([22sdsdtutL-32s)]([tutLn1!nsn-)]([tuetLtnl1)(!nsnlRe(s)-l例：已知f1(t)=u(t)-u(t-1),f2(t)=u(t-2)-u(t-4)计算：y(t)=f1(t)f2(t)sesFs--1)(1seesFss422)(---242))(1()(seeesYsss-----25342seeeessss------)5()5()4()4()3()3()2()2()(----------tuttuttuttutty02345t12-tt-5)(ty7)时域微分特性（differentiationinthetime-domain）若0)Re()()(sssFtfL则有0)Re()0()()(s--sfssFdttdfL--0)()(dtedttdfdttdfLstdtsetfetfstst))(()(00------)()0(ssFf--重复应用微分性质:)0('))0()((]')('[----ffssFstfL)0(')0()(2----fsfsFs例：stuL/1)]([)](')([tutL--)0()]([utusL1)]('[tL--)0()]([tsLs例：已知一LTI系统单位冲激响应h(t)满足的微分方程为h''(t)+h(t)=(t)试用Laplace变换求h(t)。解：对方程两边做L变换s2H(s)+H(s)=1H(s)=1/(s2+1)h(t)=sin(t)u(t)8)积分特性（Integrationproperty）若0)Re()()(sssFtfL则有)0,max()Re()()(00s-sssFdfLt-tdfL0])([证：)]()([tutfL)]([)]([tuLtfLssF/)(例：stuL1)]([Re(s)0])()([0dutrLtstuL)]([21sRe(s)0])([dfLt-])()([00---tdfdfL])([)]0([0)1(---tdfLfLssFsf)()0()1(--9)初值定理和终值定理若0)Re()()(sssFtfL则有)(lim)0()(lim0ssFftfst)(lim)()(lim0ssFftfst证：由微分性质有dtetffssFst----)(')0()(0dtetfdtetfstst---)(')('000dtetfffst---)(')0()0(0dtetffssFst-)(')0()(0方法：(1)利用复变函数中的留数定理(2)采用部分分式展开法基本思路：利用1)/(!)]([-ntnsntuetLll，把F(s)展开为1)/(nsKl项的和，即可得出原函数。拉普拉斯反变换(InversionofLaplasetransform)sssssF342)(2331321sksksk)3)(1(2ssss3/2)()(01ssFsk2/1)()1(12--ssFsk6/1)()3(33--ssFsk)(61)(21)(32)(3tuetuetutftt----[例]用部分分式展开法求)(sF的反变换sssssF342)(23[例]用部分分式展开法求F(s)的反变换3)1(2)(-ssssFsksksksksF231321211)1()1()1()(2)(02-sssFksksksksksFs2313122113)1()1()1()()1(3)()1(1313-ssFsk2)()1(1312-ssFsdsdk2)()1(21132211-ssFsdsdk)()22223()(2tueteettfttt----利用拉普拉斯变换分析系统响应(Solvingsystemresponse)t域微分方程y(t)(拉氏变换)(拉氏反变换)解代数方程s域代数方程Y(s)(1)经拉氏变换将域微分方程变换为域代数方程(2)求解s域代数方程，求出Yx(s),Yf(s)(3)拉氏反变换，求出响应的时域表示式求解步骤：[例]一系统满足的微分方程为y''(t)+2y'(t)+y(t)=f(t)t0f(t)=u(t-1)，求y(t)。解：对方程两边做Laplace边换得)()()(2)(2sFsYssYsYszszszssssesYszs)12()(2-221)1(1111)12(1)(--sssssssY)()1()(1tuteetytt----)1())1(1()()1()1(--------tuetetyttzs•Laplace变换的性质性质1（导数性质）L()()(0)ftpLpf-性质2（积分性质）L01()()tfdLpp性质4（延迟性质）L00()()ptftteLp--性质3（相似性质）L1()pfatLaa性质5（位移性质）L()()teftLpll-性质6（卷积性质）L1212()()()()ftftLpLpLaplace变换之应用•用于求解常微分方程的初始问题•例123(0)0,(0)1tyyyeyy--解：设L{y(t)}=Y(p)，方程两边取Laplace变换，有21()(0)(0)2[()(0)]3()1pYppyypYpyYpp----21()12()3()1pYppYpYpp--3118842()(1)(1)(3)113pYppppppp----()yt3311488ttteee----L-1{Y(p)}利用初始条件，得到•例2222(0)(0)(0)(0)0tyxxyeyxyxtyyxx------解：设L{y(t)}=Y(p)，L{x(t)}=X(p)，方程组两边取Laplace变换，并利用初始条件，得到()xtttte-L-1{X(p)}2222212()()()()112()()2()()pYppXppXpYppppYppXppYpXpp-------222(1)()()(1)12()(1)()(1)ppYppXppppYppXppp------2221()(1)21()(1)YppppXppp---()yt1ttete--L-1{Y(p)}