哈工大-有限元理论

有限元方法简介刘亚欣[e-mail]18615169870规格严格、功夫到家绪论第一部分理论力学—研究物体机械运动一般规律的科学对象:刚体和刚体系特征:无变形、复杂形状的物体材料力学—研究构件的承载能力对象:简单的变形体(杆、梁)特征:小变形、简单形状的物体1.绪论桁架结构弹性力学—研究弹性物体受力后的变形、各点位移，内部的应变与应力对象:任意变形体特征:小变形、任意形状的物体1.绪论有限元法——求解偏微分方程初边值问题的有效的数值方法，广泛应用于结构工程分析、传热分析、电磁场、渗流及流体力学、流变学等可以用偏微分方程描述的领域，是工程领域中应用最广泛的一种数值方法。预修课程——高等数学；材料力学；线性代数；弹性力学…薄板弯曲的弹性曲面方程:1.绪论𝐸ℎ312(1−𝜇2(𝜕4𝑤𝜕𝑥4+2𝜕4𝑤𝜕𝑥2𝜕𝑦2+𝜕4𝑤𝜕𝑦4=𝑞课程目标(1)理解什么是有限元法及其基本思想(2)学习有限元法的基本原理,主要以直接法学习有限元法的基本技术路线、理论推导。认识不同类型单元的行为和应用范围.1.绪论有限单元法（或有限元分析）是以剖分插值和能量原理为基础、以计算机为工具的结构分析数值方法。其基本思想：把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。1.绪论有限元法基本思想—用一个比较简单的物理模型，即将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体，去代替原有的复杂问题，从而进行求解.椭圆封头几何模型椭圆封头有限元模型1.绪论••技术路线将连续域划分为有限个离散的小部分——“单元”，单元与单元之间在共同“结点”处联接起来；在每个单元内函数用已知的简单函数近似，所有量转化为用结点变量来表示，再找到所有这些结点变量应满足的有限维的代数方程组（一般是结点的某种平衡方程），设法求解这个代数方程组，得有限个结点变量，——就得到了数值解或近似解。TriangularelementsNodes氧化反应器在自重作用下的整体应力强度云图氧化反应器裙座底部在自重作用下的应力强度云图钢结构接头的应力分析18工程实例(a)铲运机举升工况测试(b)铲运机工作装置插入工况有限元分析图1-3WJD-1.5型电动铲运机1.绪论19(a)KOMATSU液压挖掘机(b)某液压挖掘机动臂限元分析图1-4液压挖掘机1.绪论20图1-5驾驶室受侧向力应力云图图1-6接触问题结构件应力云图1.绪论21图1-7液压管路速度场分布云图图1-8磨片热应力云图图1-9支架自由振动云图1.绪论1956年，Turner与Clough在分析飞机结构中用三角形单元解决了弹性力学平面问题；有限元的发生与发展•1960年，Clough在他的名为“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的论文中首次提出了有限元（finiteelement）这一术语；•从1943年Courant对扭转的研究开始，50年代是理论的萌芽阶段；•60～70年代完善理论框架，70年代，技术框架形成软件推向市场。尽可能的实践。课程的学习方法:•学习有限元法的基本理论。理解思路1.绪论有限元方法（优点）有限元可以运用于任何场问题：没有几何形状的限制边界条件和载荷没有限制材料性质并不限于各向同性具有不同行为和不同数学描述的分量可以结合。有限元结构和被分析的物体或区域很类似通过网格细分可以很容易地改善解的逼近度。1.绪论有限元方法（应用领域）机械/航空航天/土木工程/自动化工程结构分析（静力/动力分析，线形/非线性分析）热分析/流体力学分析电磁场分析地质力学分析生物医学分析1.绪论有限元方法（计算机程序）专业化小程序有TrussFramePlaneStressHeatTransfer大型通用商业化程序ANSYSADINAABAQUSPANTRANSAP1.绪论有限元方法（分析步骤）第一步：问题及求解域定义第二步：求解域离散化第三步：确定状态变量及控制方法第四步：单元推导第五步：总装求解。第六步：联立方程组求解和结果解释简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分;后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果1.绪论举例：杆系结构有限元分析的完整过程4.1有限元分析的完整过程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3为10N作用下二杆结构的变形。1）离散化该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。单元1;节点位移u1，u2；节点力P1，P2（U1，U2）。4.1有限元分析的完整过程2）单元分析（直接法分析）状态一：节点2固定单元节点条件：u(1)=u1，u(2)=0单元内应力：111EEul材料力学：拉应力为正，压为负；4.1有限元分析的完整过程2）单元分析（直接法分析）状态一：节点2固定单元节点条件：u(1)=u1，u(2)=0单元左端点力：由杆单元静力平衡条件;'111111AEUAAEul''112111AEUUul4.1有限元分析的完整过程有限元：x正方向的节点力为正2）单元分析（直接法分析）状态二：节点1固定单元节点条件：u(1)=0，u(2)=u2单元左端点力：由杆单元静力平衡条件;''1111121AEUAAEul''''112121AEUUul4.1有限元分析的完整过程把上述两种状态相加：(1)'''11111111211(1)'''11112221211AEAEUUUuullAEAEUUUuull1111111111(1)1111121122[]uuAEAEUllkAEAEUlluu上脚标表示单元；下脚标表示节点单元1刚度矩阵4.1有限元分析的完整过程1111111111(1)1111121122[]uuAEAEUllkAEAEUlluu111111121111222112UkkuuUkk4.1有限元分析的完整过程同理可得单元2：2222222222(2)2222232233[]uuAEAEUllkAEAEUlluu4.1有限元分析的完整过程综合2单元，考虑约束：节点1：11111112111AEAEUuuRll节点2：1211112222221231122()0AEAEAEAEUUuuullll节点3：2222232322AEAEUuuPll4.1有限元分析的完整过程写成矩阵11111111111122222211222222332200()[]0AEAEuullRAEAEAEAEukullllPAEAEuull整体刚度矩阵：4.1有限元分析的完整过程对称，不是偶然，满足功的互等定理。行列式=0，奇异，物理意义无约束有位移=05）建立刚度方程简化为二阶11222221222222322()0AEAEAEulllPAEAEull引入约束过程4.1有限元分析的完整过程6）求解节点位移将结构参数和外载荷代入上式有求解得（单位m）222222232230EAEAullupEAEAll233102E41110uu232.5E47.5E4uu4.1有限元分析的完整过程9）计算支反力具体地对于单元1，有其中R1是节点1的支反力，P2是单元1的节点2所受的力，即单元2对该节点的作用力，将前面求得的节点位移代入上式可得支反力大小。eeeKqP1111221111uREAuPl4.1有限元分析的完整过程111111121111222112UkkuuUkk以上是一个简单结构有限元方法求解得完整过程，对于复杂结构，其求解过程完全相同，由于每一个步骤都具备标准化和规范性的特征，所以可以在计算机上编程而自动实现。4.1有限元分析的完整过程讨论2：由前面的步骤，我们也可以直接将各个单元的刚度矩阵按照节点编号的对应位置来进行装配，即在未处理边界条件之前，先形成整体刚度矩阵。其物理意义是，表示在未处理边界条件前的基于节点描述的总体平衡关系。在对该方程进行位移边界条件的处理后就可以求解，这样与先处理边界条件再求系统势能的最小值所获得的方程完全相同。KqP4.1有限元分析的完整过程有限元分析的基本步骤及表达式1、物体几何区域的离散化2、单元的研究（所有力学信息都用节点位移）来表达3、装配集成4、边界条件的处理并求解节点位移5、支反力的求取以及其它力学量（应力、应变及位移三大物理量）的计算eeeKqP第一章概述46•有限单元法基本步骤(1)待求解域离散化(2)单元分析，插值位移函数(3)形成单元性质的矩阵方程(4)形成整体系统的矩阵方程(5)约束处理，求解系统方程(6)其它参数计算第一章概述47三大类型(按其推导方法分):(1)直接刚度法(简称直接法):根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元性质方程。(2)变分法直接从求解泛函的极值问题入手，把泛函的极植问题规划成线性代数方程组，然后求其近似解的一种计算方法。(3)加权余量法直接从控制方程中得到有限单元方程，是一种近似解法。参考教材：1:王守信，有限元法教程，哈尔滨工业大学出版社。2:冷纪桐,《有限元技术基础》,化学工业出版社.3:王勖成邵敏,《有限单元法基本原理和数值方法》,清华大学出版社.4:朱伯芳,《有限单元法原理与应用》,中国水利水电出版社.1.绪论有限元分析的基本步骤及表达式