第6讲 导数在研究函数上的应用

主讲教师：张丽清第6讲导数在研究函数上的应用函数的性质（已学）函数的单调性函数的奇偶性函数的周期性函数的有界性提纲函数的单调性函数的极值与最值函数的凹凸性函数的渐近线函数的单调性4.3函数的极值与最值4.3.1函数的单调性4.3.2函数的极值4.3.3函数的最值及应用4.3.4函数的凹凸与拐点4.3.5曲线的渐近线定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则：(1)若在(a,b)内(2)若在(a,b)内4.3.1单调性的判定,0)(xf则f(x)在区间[a,b]上单调增加.则f(x)在区间[a,b]上单调减少.,0)(xf倘若f(x)在端点处不连续，则只需把结论的[a,b]改为（a,b）即可.在[x1,x2]上用拉格朗日中值定理得：至少存在0根据递增定义f(x)在[a,b]单调递增.abab例2确定函数的单调性.解:,1xey）内，在（0,0y）内在（,00y）内单调减少；，在（01xeyx.,0）内单调增加在（Rx该函数的定义域是R,yxo说明:1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,32xy2)驻点不一定是函数单调区间的分界点.例如,yox3xy求函数单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导，并求出驻点、不可导点；(3)列表（根据分界点把定义域分成相应的区间；判断一阶导符号）(4)下结论。例3确定函数的单调区间.解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)(xf得2,1xxx)(xf)(xf)1,(2001)2,1(),2(故的单调增加区间为,)1,();,2(单调减少区间为).2,1(该函数的定义域是R,提纲函数的单调性函数的极值与最值函数的凹凸性函数的渐近线函数的极值与最值4.3.2极值定义设函数y=f(x)在x0的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于x0的x恒有(1)f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极大值，x0称为f(x)的极大值点；(2)f(x0)f(x)，则称f(x0)为函数f(x)的极小值，x0称为f(x)的极小值点；函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点.显然，在图中，x1，x4为f(x)的极大值点，x2，x5为f(x)的极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5从图形上可以看出:(1)极大值不一定大于每一个极小值；极小值也不一定小于每个极大值.(2)极值点若可导，则导数必定是0.定理2(极值的必要条件)若f(x)在x0处可导，且x0为极值点，则f(x0)=0.简单地说，可导的极值点一定是驻点.或者不可导点.极值点一定是驻点不可导驻点可导极值点反之则未必成立.xy3yx3()ayxO13()byxxyO13yx也就是说，驻点或不可导点未必就是极值点.)(3x)(31x23x32323131xx,)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,x0驻点或不可导点。,0时由小到大通过当xx(1))(xf“左正右负”,;)(0取极小值在则xxf(2))(xf“左负右正”,.)(0取极大值在则xxf定理3(极值第一充分条件)P97.)(0处没有极值在则xxf(3))(xf“左右同号”,例1求函数的极值.解:(1)该函数的定义域为R.313235)(32xxxf3325xx(2)令,0)(xf得驻点;52x另外，.0是不可导点x(3)列表判别x)(xf)(xf05200)0,(),0(52),(52定理4(极值第二充分条件)P98则在点取极大值;则在点取极小值.则需要用第一充分条件判别.例2求函数的极值.解(1)求导数,)1(6)(22xxxf)15)(1(6)(22xxxf(2)求驻点:令,0)(xf得驻点1,0,1321xxx(3)判别:因,06)0(f故为极小值;又,0)1()1(ff故需用第一判别法判别.4.3.3最大值与最小值问题对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值．值和最小值只能在区间(a,b)内的极值点和区间端点处达到．显然，函数在闭区间[a,b]上的最大求函数最值的方法:(1)求在内的驻点和不可导点(2)求这些点对应的函数值,)(af)(bf（3）比较大小，得函数在[a,b]上的最值.函数f(x)的最值只会在端点以及内部的驻点和不可导点处产生.以及端点的函数值：例3试求函数f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在区间[0,3]上的最大值和最小值.解f(x)=12x3-48x2+60x–24令f(x)=0，得驻点x=1，x=2，又因为=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)的最大值最小值为f(2)=-4.为f(3)=13，特别:•当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)•若求在开区间（a,b）内的值域，则端点处函数值用极限代替.•当在上单调时,最值必在端点处达到.•对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.例4铁路上AB段的距离为100km,工厂C距A处20AC⊥AB,要在AB线上选定一点D向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20AB100C物从B运到工厂C的运费最省,问DKm,公路,解设,(km)xAD则,2022xCD总运费为y,铁路每公里运费为3k,令得又所以为唯一的15x极小点,故AD=15km时运费最省。从而为最小点,,)34005(2xxky23)400(40052xky例5欲做一个底为正方形，容积为a立方米的长方体开口容器，当底和高分别是多少时用料最省。ahxv2xhxy42所以242xaxy32ax解设底边边长为x，高为h，表面积为y，则由得（唯一）由实际情况可知当底为2xahxaxxaxx44222高为,23ax时用料最省。2xah223a0小结函数的单调性严格递增𝑦′0严格递减𝑦′0函数的极值用单调性判断函数的最值在极值点和端点处取到作业课本第105页第5题，第114页第6题2537x8y00.59提纲函数的单调性函数的极值与最值函数的凹凸性函数的渐近线函数的凹凸性4.3.4曲线的凹凸性4.3函数的极值与最值4.3.5曲线的渐近线OyABCDx4.3.4曲线的凹凸性与拐点xyOABDC(a)(b)定义1若在某区间（a,b）内(1)若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段（a,b）内是凸的，并称（a,b）为函数的凸区间.(2)曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称曲线段在（a,b）内是凹的，并称（a,b）为函数的凹区间；定理1设函数y=f(x)在区间I内的二阶导数f(x)0，则曲线y=f(x)在区间I内是凹的；若f(x)0，则在此区间I内曲线y=f(x)是凸的.xyOABDCx1x3x4x2定义2曲线y=f(x)的凹凸分界点叫做曲线的拐点.所以，拐点是一个点的坐标（x0,f(x0)），而不是一个值x=x0..0)(0xf且在x0处有二阶导，那么必定有点（x0,f(x0)是曲线y=f(x)拐点.)(0)(00不存在或xfxf如果(x0,y0)是拐点，(2)求(3)列表格，用上述各点按照从小到大依次将分成小区间,再在每个小区间上考察的符号.(1)确定函数y=f(x)的定义域；综合上面的分析，求凹凸区间（或凹凸性）和拐点可以按照如下步骤进行：),(xf0)(xf)(xf不存在的点；找出在定义域内使的点和)(xf(4)下结论.例1讨论曲线f(x)=x3-6x2+9x+1的凹凸区间与拐点．解定义域为(,).因为f(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x-12=6(x-2)，令f(x)=0，可得x=2.x(,2)2(2,+)f(x)0+f(x)拐点(2,3)所以(2,3)是该曲线的拐点.例2讨论曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点.解定义域为(,).因为,122xxy.)1()1)(1(2)1()1(222222xxxxxy令y=0得x=-1，x=1.x)(xf)(xf0112ln)1,(),1()1,1(02ln所以曲线的凸区间是（-∞，-1）和（1，+∞）,凹区间是（-1，1）；点(-1,ln2)和(1,ln2)为拐点.提纲函数的单调性函数的极值与最值函数的凹凸性函数的渐近线函数的渐近线4.3.5曲线的渐近线定义3若曲线y=f(x)上的动点M(x,y)沿着曲线无限远离坐标原点时，它与某直线l的距离趋则称l为该曲lM(x,y)y=f(x)yxO向于零，线的渐近线.(1)垂直渐近线)(limxfcx若，或)(limxfcx,)(limxfcx或则称直线x=c为曲线y=f(x)的垂直渐近线.例如，，xxlnlim0∴直线x=0为y=lnx曲线的垂直渐近线.yxOy=lnx对于曲线y=lnx来说，,11,来说对于曲线又如xy.111的垂直渐近线为曲线所以直线xyx,11lim1xx因为1yxO11xy11xy例如，对于曲线来说，,011limxx(2)水平渐近线,)(limcxfx若则称直线y=c为曲线y=f(x)的水平渐近线.,)(limcxfx或yxO11xy所以直线y=0是曲线11xy的水平渐近线.y=0所以直线22yy与都是该曲线的水平渐近线.2yxO因为又如，曲线y=arctanx，，2arctanlimxx,2arctanlimxx2y=arctanx例3求函数的水平和垂直渐近线.422xxy所以该函数的水平渐近线是y=1，解4limlim2222xxyxx4limlim22xxyxx2411limxx1垂直渐近线是x=2和x=-2.小结函数的凹凸性f(x)0，凹f(x)0，凸函数的渐近线垂直渐近线x=c水平渐近线y=c，)(limxfcx,)(limcxfx