函数的凹凸性,极值

1函数曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC凸凹2定义121221()()()(),,,,2),)2((;xfxIxxIfxfxfabfxx设在区间上连续如果对恒有那末称在内的图形是凹的1212()()()22,()(,);fxxxfxfabxf恒有那末称在内的图形是凸的xyo)(xfy1x2x122xxxyo1x2x)(xfy122xx3Oxy3yx在0上,(,)是凸的,3yx23,yx,6yx此时.0y在上,(0,)是凹的,3yx此时.0y时,0x,0y点0是曲线凹凸性的分界点.(0,)有什么想法？4能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y5四、曲线凹凸的判定定理2.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf6判别可微函数的凸凹性主要是对121(()())2fxfx12()2xxf进行比较.有什么公式能把以上的函数值与函数的二阶导数联系在一起呢?分析7(1)在I内则在I内图形是凹的;(2)在I内则在I内图形是凸的.证:)()(1fxf221xx!2)(1f21)(x221xx)()(2fxf221xx)(f221xx)(2x221xx!2)(2f22)(x221xx两式相加)(2)()(21fxfxf221xx22!21)(12xx)]()([21ff,0)(时当xf),(2)()(21fxfxf221xx说明(1)成立;(2))(f221xx)(1x221xx设函数在区间I上有二阶导数利用函数在一阶泰勒公式可得122xx定理2.(凹凸判定法)8例2判别曲线的凹凸性.1yx函数的定义域为0.(,)(0,)因为,,2312yyxx所以,0时,,为凸的,1()0xyyx,时,,为凹的.1(0)0xyyx解921:,().2xyxyxyeee证明时(),(,),tftet令()()0,(,),tftftet()(,).tfte故所对应的曲线在内是凹的,(,),xy21(),2xyxyeee().xy,由曲线凹性的定义有例3证10时,0x,0y点0是曲线凹凸性的分界点.(0,)Oxy3yx23,yx,6yx在0上,(,)是凸的,3yx此时.0y在上,(0,)是凹的,3yx此时.0y拐点11五、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理3如果)(xf在0(,)x内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0()0fx.1.定义2.拐点的求法证,)(二阶可导xf,)(存在且连续xf12,])([)(0两边变号在则xxfxf,))(,(00是拐点又xfx0()(,)fxx在满足费马引理条件0()0.fx方法1:00(),()0,fxxfx设函数在的邻域内二阶可导且000(1)(),(,());xfxxfx变号两近旁点即为拐点000(2)(),(,()).xfxxfx两近旁点不不变是拐点号拐点的求法13例4.14334凹、凸的区间的拐点及求曲线xxy解),(:D,121223xxy).32(36xxy,0y令.32,021xx得x)0,(),32()32,0(032)(xf)(xf00凹的凸的凹的拐点拐点)1,0()2711,32().,32[],32,0[],0,(凹凸区间为14方法2:00000(),()0,()0,(,())().fxxfxfxxfxyfx设函数在的邻域内三阶可导且而那末是曲线的拐点想一想为什么？00()0()0fxfx，不妨设__000000()()()()limlim0xxxxfxfxfxfxxxxx()0fx0()xx0()fxx在两侧异号。000000()()()()limlim0xxxxfxfxfxfxxxxx()0fx0()xx15内曲线有拐点为在]2,0[).0,47(),0,43(例5.)]2,0([cossin的拐点内求曲线xxy解,sincosxxy,cossinxxy.sincosxxy,0y令.47,4321xx得2)43(f,02)47(f,016例6.3的拐点求曲线xy解,0时当x,3132xy,9435xy.,,0均不存在是不可导点yyx,0,)0,(y内但在;]0,(上是凹的曲线在,0,),0(y内在.),0[上是凸的曲线在.)0,0(3的拐点是曲线点xy.)())(,(,)(000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf注意:17求曲线拐点的一般步骤():yfx(1)()();fx求的定义域或确定讨论区间(2)(),(),(());fxfxfx计算如需要可求出()0();fxfx使的点和不存在的点(4).根据定理判别可疑点是否确为拐点(3):求拐点可疑点182(2,2.5)0,xyaxby已知点为曲线的拐点,.ab求的值2:0.xb由题意,由隐函数求导法则得22,xyayxb222642,()xyaxbyyxb1:0.y由拐点的必要条件得2,2.5:xy以代入得60850(1)ab,,:又拐点在曲线上其坐标满足曲线方程得1022.50(2)ab(1),(2),联立成方程组解之得20,3a4.3b例7解1921xye求函数的凹凸区间，拐点练习凹区间：),(2121凸区间：12(,)12(,)1212(,1)e拐点：20第三章微分中值定理与导数的应用第五节函数的极值与最大,最小值21.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.一、函数极值的定义22Oxy0x0x0xOxy0x0x0x极大值点极小值点极大值点极小值点不是极值点Oxy0x0x0xOxy0x0x0xOxy0x0x0x不是极值点Oxy0x0x0x极小值点不是极值点Oxy0x0x0xOxy0x0x0xOxy0x0x0x极大值点23是函数可能取得极值的点。一阶导数为零的点通过观察以上的图形:一阶导数不存在的点函数不连续的点24二、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0()0fx.定理1(必要条件)定义(()0.)()fxfx使导数为零的点即方程的实叫做函数的驻点根注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x.实质上就是费马定理25.使得函数导数不存在的点也是极值可疑点,||(,)yxx例如0,x在点处不可导0.x但恰好是它的极小值点yxO||yx0x?如何判断极值可疑点是否确为极值点极值可疑点:()0.fx驻点的点()0.fx使不存在的点()0.fx使不连续点26首先考察下列函数的图形:Oxy0x0x0xOxy0x0x0x极大值点极小值点极大值点极小值点不是极值点Oxy0x0x0xOxy0x0x0xOxy0x0x0x不是极值点Oxy0x0x0x27极小值点不是极值点Oxy0x0x0xOxy0x0x0xOxy0x0x0x极大值点通过观察以上的图形可以看出:判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右对于可导函数将归结于判别函数的导数的符号.两侧函数的单调性.28(1)如果),,(00xxx有()0;fx而),(00xxx,有()0fx，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有()0;fx而),(00xxx有()0fx，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,()fx符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)00()(,)fxxx设在处连续，内可导29xyoxyo0x0x求极值的步骤:(1)();fx求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形)30例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx3100,U()xx判别点是否为函数的极值点就是在内0()().fxfx比较函数值与的大小想想还有哪一个公式中也体现了0()()?fxfx与的比较关系320()U(),fxxn设在内有直到阶导数则()0000()()()(()).!knknkfxfxxxoxxk:回忆泰勒公式2000000()()()()()()2!(()).nfxfxfxfxxxxxxxo即0,.x如果是驻点会看这一部分220000()()()()o(())2!fxfxfxxxxx33,,对于驻点如果函数的二阶导数存在则0x可利用函数在点处的二阶导数符号来判别点0.x是否为极值点220000()()()()o(())2!fxfxfxxxxx当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,34设)(xf在0x处具有二阶导数,且0()0fx,0()0fx,那末(1)当0()0fx时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0()0fx时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证0()x在某个展开为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式20000020()()()()(())()()2.!fxfxfxfxxxxoxxx0()0fx200020()()()((()).)2!fxfxfxxxoxx00()0()()fxfxfx当时，00()0()()fxfxfx当时，0()xx0()xx取得极大值取得极小值35例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx