函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.编写意图函数的单调性与最值是函数的基本性质,也是函数知识的核心,是高考重点考查的内容,难度不大.本节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出函数单调性的判定与证明、求函数单调区间以及利用函数的单调性确定参数的取值或取值范围,这些主要体现在考点一、考点二、考点三的选题和反思归纳上,难点突破函数最值的求解方法、转化与化归思想、数形结合思想的应用,这些主要体现在考点四的选题和反思归纳上,思想方法栏目突破了抽象函数单调性的判定与证明、函数不等式的求解方法,充分体现了转化与化归思想的灵活应用.考点突破思想方法夯基固本夯基固本抓主干固双基知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2定义当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)上升的下降的质疑探究1:若函数f(x)在区间C和区间D上都是增(减)函数,则函数f(x)在区间C∪D上是增(减)函数吗?(提示:不一定.如f(x)=1x,在区间(-∞,0)及(0,+∞)上都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数,如取x1=-1,x2=1,x1x2,但f(x1)f(x2)不成立)(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.质疑探究2:当一个函数的增区间(或减区间)有多个时,能否用“∪”将函数的单调增区间(减区间)连接起来?增函数区间D(提示:不能直接用“∪”将它们连接起来,例如:函数y=x3-3x的单调增区间有两个:(-∞,-1)和(1,+∞),不能写成(-∞,-1)∪(1,+∞))2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.(3)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M.结论M为最大值M为最小值基础自测1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()(A)y=ln(x+2)(B)y=-1x(C)y=12x(D)y=x+1x解析:y=ln(x+2),定义域为(-2,+∞),在(0,+∞)上递增,y=-1x,定义域为[-1,+∞),在(0,+∞)上递减,y=12x,定义域为R,在(0,+∞)上递减,y=x+1x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增.故选A.A2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是()(A)[1,2](B)[-1,0](C)[0,2](D)[2,+∞)A解析:由于f(x)=|x-2|x=222,2,2,2,xxxxxx由二次函数的单调性知函数的单调减区间是[1,2].3.给出下列命题:①函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间是(-∞,0]∪(0,+∞).②若定义在R上的函数f(x),有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数;③函数y=|x|是R上的增函数;④函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞);⑤对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则函数f(x)在D上是增函数.⑥闭区间上的单调函数,其最值一定在区间端点取到.其中正确的是()(A)①②(B)③④(C)④⑤(D)⑤⑥D解析:①错误.函数的单调递增区间应为(-∞,0]和(0,+∞).②错误.对R上的特殊的-13,有f(-1)f(3),f(x)在R上不一定为增函数.③错误.函数y=|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.④错误.[1,+∞)是单调递增区间的子集.⑤正确.若x1,x2∈D,且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0,则x1x2时,f(x1)f(x2);x1x2时,f(x1)f(x2).⑥正确.若函数在闭区间上单调,则其图象的最高、最低点一定在端点,即最值在端点取到.4.函数f(x)=21xx在[1,2]的最大值和最小值分别是.解析:f(x)=21xx=2121xx=2-21x在[1,2]上是增函数,∴f(x)max=f(2)=43,f(x)min=f(1)=1.答案:43,15.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则f(1)=.解析:依题意,知函数图象的对称轴为x=-8m=8m=-2,即m=-16,从而f(x)=4x2+16x+5,f(1)=4+16+5=25.答案:25考点突破剖典例找规律考点一【例1】判断并证明函数f(x)=21axx(其中a0)在x∈(-1,1)上的单调性.函数单调性的判断解:法一(定义法)设-1x1x21,则f(x1)-f(x2)=1211axx-2221axx=22121212221211axxaxaxxaxxx=21122212111axxxxxx.∵-1x1x21,∴x2-x10,x1x2+10,(21x-1)(22x-1)0.因此当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数.法二(导数法)f′(x)=2222121axaxx=22211axx.又a0,所以f′(x)0,所以函数f(x)在(-1,1)上为减函数.反思归纳判断函数单调性的方法(1)定义法:取值,作差,变形,定号,判断.(2)利用复合函数关系:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数,简称“同增异减”.(3)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调增;图象逐渐下降,单调减.(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.【即时训练】判断函数y=21xx在(-1,+∞)上的单调性.解:法一任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1x2,则y1-y2=1121xx-2221xx=211211xxxx.∵x1-1,x2-1,∴x1+10,x2+10,又x1x2,∴x2-x10,∴211211xxxx0,即y1-y20.∴y1y2,所以函数y=21xx在(-1,+∞)上是减函数.法二y=21xx=1+11x.∵y=x+1在(-1,+∞)上是增函数,∴y=11x在(-1,+∞)上是减函数,∴y=1+11x在(-1,+∞)上是减函数.即函数y=21xx在(-1,+∞)上是减函数.考点二【例2】(1)函数y=|x|(1-x)在区间A上是增函数,那么区间A是()(A)(-∞,0)(B)[0,12](C)[0,+∞)(D)(12,+∞)(2)已知函数f(x)=12log(x2-2x-3),则使f(x)为减函数的区间是()(A)(3,6)(B)(-1,0)(C)(1,2)(D)(-3,-1)求函数的单调区间解析:(1)y=|x|(1-x)=1,0,1,0xxxxxx=22,0,,0xxxxxx=2211,0,2411,0.24xxxx画出函数的草图,如图.由图易知原函数在[0,12]上单调递增.故选B.(2)令u=x2-2x-30,解得x3或x-1.又u=x2-2x-3在(3,+∞)单调递增,y=12logu在(0,+∞)单调递减,∴函数f(x)=12log(x2-2x-3)在(3,+∞)上单调递减.故选A.反思归纳求函数单调区间的常见方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,再求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数确定函数的单调区间.【即时训练】(1)函数f(x)=|x-2|(x-4)的单调减区间是()(A)[1,2](B)[-1,0](C)[0,2](D)[2,3](2)函数y=223113xx的单调递增区间为()(A)(1,+∞)(B)(-∞,34](C)(12,+∞)(D)[34,+∞)解析:(1)f(x)=|x-2|(x-4)=2268,2,68,2.xxxxxx结合函数图象知.当x∈[2,3]时,函数f(x)递减.故选D.(2)令u=2x2-3x+1=2(x-34)2-18.u=2(x-34)2-18在(-∞,34]上递减,函数y=(13)u在R上递减.所以y=223113xx在(-∞,34]上递增.故选B.利用函数的单调性求参数考点三【例3】(1)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是()(A)(-14,+∞)(B)[-14,+∞)(C)[-14,0)(D)[-14,0](2)(2014重庆模拟)已知f(x)=314,1,log,1aaxaxxx是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,13)(C)[17,13)(D)[17,1)解析:(1)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-1a,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a0,且-1a≥4,解得0a≥-14.综合上述得-14≤a≤0.故选D.(2)由题意知310,01,3114log1,aaaaa即1,301,1,7aaa所以17≤a13.故选C.反思归纳已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.【即时训练】(1)函数y=52xxa在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()(A){a|a=-3}(B){a|a3}(C){a|a≤-3}(D){a|a≥-3}(2)已知f(x)=21,1,,1,xaxxax满足对任意x1≠x2,都有1212fxfxxx0成立,那么a的取值范围是.解析:(1)y=52xxa=1+32axa,由函数在(-1,+∞)上单调递增,有30,21,aa解得a≤-3.(2)由已知条件得f(x)为增函数,∴20,1,211,aaaa解得32≤a2,∴a的取值范围是[32,2).答案:(1)C(2)[32,2)确定函数的最值(值域)考点四【例4】(1)若函数f(x)=1a-1x在[12,2]上的值域是[12,2],则实数a的值为.(2)函数y=x-x(x≥0)的最大值为.(3)函数f(x)=281xx(x1)的最小值为.解析:(1)因为函数f(x)在区间[12,2]上是增函数,值域为[12,2],所以f(12)=12,f(2)=2,即112,2112,2aa解得a=25.(2)令t=x则t≥0,所以y=t-t2=-212t+14,结合图象知,当t=12,即x=14时,ymax=14.(3)法一基本不等式法: