函数的单调性与极值

1第四节函数的单调性与极值本节开始,我们学习导数在实际中的一些应用,包括利用导数研究函数的性态（单调性、极值、凹凸性、拐点）并作图以及最优化问题的求解,这些应用的理论基础是我们之前学习的微分学理论以及微分中值定理.2一、函数单调性的判别法函数单调增加函数单调减少函数的单调性与导数的符号有什么关系？0)(xf0)(xf观察与思考：4xyo)(xfyxyo)(xfy0)(xf0)(xf定理.),(],[)(内可导上连续，在在设函数babaxfy1(,)()0()[,]abfxyfxab（）如果在内，则函数在上单调增加；2(,)()0()[,]abfxyfxab（）如果在内，则函数在上单调减少；5证),,(,21baxx,21xx且)())(()()(211212xxxxfxfxf210,xx从而,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf；上单调增加在],[)(baxfy,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy12()[,][,]Lagrangefxxxab在上满足定理条件,Lagrange应用定理,可得6注：1、函数单调性的判别法是Lagrange中值定理的重要应用.定理中的区间[a,b]可推广为开区间、半开区间、无穷区间等,定理均成立.2、单调性是函数在一个区间上的性质,因此要用导数在该区间上的整体符号来判定,不能用一点处的导数符号来代替.区间内个别点处的导数为零,不影响函数在该区间上的整体单调性.3、若不特别指明区间,默认在定义域上xyo例如,,3xy(,).但它在上单调增加,032xy,0)0(y讨论函数的单调性.7例1解.ln的单调性讨论函数xy1sin,yx例2cos[0,2]yxx判断函数在上的单调性.xy1,0ln,.yx在定义域内单调增加即为增函数解)0,1(xyo注意定义域！[0,2]在上，30.2xy且仅在=处,cos0,2]yxx函数在[上单调增加.0,y=(0,).D定义域(0,).x8e1,xy=(,).D定义域例3.1e的单调性讨论函数xyx解()0,fx令0.x得0x当时，(,0]函数在上单调减少；0,y0x当时，(0,)函数在上单调增加.0,y(,0],(0,)()fx其中分别称为的单调增和单调减区间.单调增、减区间统称为单调区间.对大多数函数而言,求函数的单调区间比讨论其在定义域上的整体单调性更有意义.9例4解32().fxx讨论函数的单调性=(,).D)0(,32)(3xxxf时，当0x,0)(xf时，当x0,0)(xf()(,0]fx在上单调减少；32xyxoy()[0,)fx在上单调增加；10函数单调区间的计算导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的称为驻点分界点.求函数单调区间的步骤：1、求函数的定义域；驻点或不可导点4、用分界点将定义域划分成若干区间，应用判别法列表进行讨论；5、写出结论（分界点勿忘）.2(),fx、计算并进行因式分解；3、在定义域内,求单调区间的分界点；11x)1,()2,1(),2()(xf)(xf解=(,).D例532()29123.fxxxx求函数的单调区间()0,fx令121,2.xx解得2()61812fxxx6(1)(2).xx121,2(,)xx将定义域划分为三个区间,()fx的单调增区间为(,1),(2,);单调减区间为[1,2].分界点不要忘列表讨论如下：12时，当1x,0)(xf()(,1)fx在上单调增加；时，当21x,0)(xf()(1,2)fx在上单调减少；时，当x2,0)(xf()(2,).fx在上单调增加解=(,).D例532()29123.fxxxx求函数的单调区间()0,fx令121,2.xx解得2()61812fxxx6(1)(2).xx规定：判断过程必须列表讨论.()0,12,fxxx令或()(,1),(2,)(1,2)fx在上单调增加；在上单调减少.上述过程不利于作图.13例65233()2.fxxx求函数的单调区间解=(,).D213354()33fxxx354,3xx()0fx令，4.5x则(0).f又不存在（常见错误：()0fx令，124,0.)5xxx(,0)4(0,)54(,)5)(xf)(xf()fx的单调增区间为4(,0),(,);5单调减区间为4[0,].514oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x二、函数的极值及其求法15设函数)(xf在0x的某个邻域0()Ux有定义,定义函数的极大值与极小值统称为极值,oxy0xoxy0x且当0()xUx时,恒有0()()fxfx,则称)(0xf为()fx如果当0()xUx时,恒有0()()fxfx，的一个极大值；则称)(0xf为)(xf的一个极小值.使函数取得极值的点称为极值点.16说明：1、极值不一定都存在；2、极值若存在,必在定义区间的内部取到；3、极值是局部性的概念,可以有多个,且极大值不一定xyO3xy无极值.oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x而最值既可能在区间内部取到,也可能在端点处取到.若最值在区间内部取到,则必为极值.最值是全局概念.至多有一个最大值，一个最小值.比极小值大.最小值不会大于最大值.17定理1(极值的必要条件)设0x是)(xf的极值点，所以对可导函数来说,极值点必为驻点.但反之不然，驻点不一定是极值点.如3xy的驻点为0x,但它不是极值点.且)(xf在点0x可导，则必有0)(0xf.oxy0xoxy0xxyO3xy18如||xy在0x处不可导,但0x却是极小值点.此外,不可导点也可能是极值点,xyO||xy但函数的不可导点也不一定是极值点，xyO3xy如3xy在0x处不可导,却不是极值点.19这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,我们将驻点和不可导点统称为极值可疑点.下面给出两个充分条件,用来判别极值可疑点是否两者必居其一.为极值点.20定理2(极值的第一充分条件)xyoxyo0x0x设函数)(xf在0x处连续,在0x的某去心邻域0()Ux内可导.(1)若),(00xxx时,0)(xf,),(00xxx时,0)(xf,则0x为极大值点；(2)若),(00xxx时,0)(xf,),(00xxx时,0)(xf,则0x为极小值点；(3)如果在上述两个区间内)(xf同号,则0x不是极值点.xyoxyo0x0x一阶导数变号法21(1)确定函数的定义域；(4)应用极值的第一充分条件判断（列表讨论）.求极值的步骤：(2)(),fx求导数并进行因式分解；(3)在定义域内,求极值可疑点(即驻点或一阶导数极值点是函数单调性发生改变的点,即为单调区间的分界点.——极值的另一种理解.不存在的点)；函数单调区间和极值经常是放在一起求的.(5)写出结论.22例7223()(5)(1).fxxx求函数的单调区间和极值解=(,).D122332()2(5)(1)(5)(1)3fxxxxx236(5)(1)2(5)31xxxx()0fx令，(1).f又不存在1215,.2xx34(5)(21).31xxx列表讨论：23x)1,((5,)1(1,)215)(xf)(xf00极大值极小值12列表讨论：1(,5)2不存在极小值34(5)(21)(),31xxfxx12315,,1.2xxx()fx的单调增区间为1[1,],[5,);2单调减区间为1(,1),(,5)2极小值：(1)0(5)0ff，，极大值：31819().244f24知识回顾：1、函数单调性的判别法则定理.),(],[)(内可导上连续，在在设函数babaxfy1(,)()0()[,]abfxyfxab（）如果在内，则函数在上单调增加；2(,)()0()[,]abfxyfxab（）如果在内，则函数在上单调减少；定理(极值的必要条件)设0x是)(xf的极值点，且)(xf在点0x可导，则必有0)(0xf.2、极值的充分、必要条件25定理(极值的第一充分条件)(1)若),(00xxx时,0)(xf,),(00xxx时,0)(xf,则0x为极大值点；(2)若),(00xxx时,0)(xf,),(00xxx时,0)(xf,则0x为极小值点；(3)如果在上述两个区间内)(xf同号,则0x不是极值点.极值点是函数单调性发生改变的点,即为单调区间的分界点.26定理3(极值的第二充分条件)设函数)(xf在它的驻点0x处二阶可导,则(1)如果0)(0xf,则0x为极小值点；(2)如果0)(0xf,则0x为极大值点；(3)如果0)(0xf,则无法判断.称为“二阶导数非零法”(1)记忆:几何直观；(3)当0)(0xf时,法则失效,如:43,xx在0x处.xyo0xxyo0x说明：(2)此法只适用于驻点,不能用于判断不可导点；此时需用第一充分条件或定义法进行判断.27例8解.593)(23的极值求函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点,)3)(1(3xx,66)(xxf)1(f,012；是极大值故10)1(f)3(f,012.22)3(是极小值故f=(,).D28例9解.]2,0[cossin)(上的极值在求函数xxxf,sincos)(xxxf，令0)(xf.45,421xx得驻点,cossin)(xxxf)4(f,02；是极大值故2)4(f)45(f,02.2)45(是极小值故f例1023()1(1).fxx求函数的极值解=(,).D22()6(1),fxxx()0fx令，12311=0.xxx，，2222()6(1)24(1)fxxxx226(1)(51)xx(0)60,f(0)0f则为极小值.(1)0f第二充分条件失效.利用第一充分条件判断，22(1)0x由于，22()6(1)fxxxx从而的符号取决于的符号.1(1)xU在的领域内，22()6(1)0,fxxx不变号.(1)1f从而不是极值.(1)1f同理也不是极值.31例11证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf则；上单调增加在),0[)(xf,0)0(f而时，当0x,0)(xf).1ln(xx即，)0()(fxf三、函数的单调性、极值的应用1、利用函数的单调性证明不等式，时当0x,0)(xf不可少32.0)(,1exxx证明不等式例12证,)1(e)(xxfx令,1e)(xxf则()0,fx令0.xx()fx()fx(,0)(0,)00极小值也是最小值.0,x()(0)0fxfe(1)0,xxe(1).xx即(0)0f为极小值,例132ln(1)(0).2(1)xxxxx证明