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《直角三角形》分层练习◆基础题一、基础题1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是()A．120°B．90°C．60°D．30°2.下列命题中，是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形中两锐角互补3.如图，点P是∠BAC内一点，PE⊥AC于点E，PF⊥AB于点F，PE＝PF，则直接得到△PEA≌△PFA的理由是()A．HLB．ASAC．AASD．SAS4.如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是()A．AB＝ACB．∠BAC＝90°C．BD＝ACD．∠B＝45°5.由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A．∠A＝37°，∠C＝53°B．∠A－∠C＝∠BC．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶56.(2017·平顶山市宝丰县期中)下列条件不能判断两个直角三角形全等的是()A．两条直角边分别对应相等B．斜边和一个锐角分别对应相等C．两个锐角对应相等D．斜边和一直角边分别对应相等7.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．8.如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.◆能力题二、训练题1.(2017·安徽)直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是()A．2，4，5B．6，8，11C．5，12，12D．1，1，23.△ABC中，若，则此三角形为（）三角形.A、等腰B、直角C、等腰直角D、等边4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，则∠ABC的大小是（）A、40°B、45°C、50°D、60°5.两个直角三角形全等的条件是（）（A）一锐角对应相等；（B）两锐角对应相等；（C）一条边对应相等；（D）两条边对应相等.6.有一块边长为24米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（）.（A）25米（B）8米（C）5米（D）6米7.等腰直角三角形的斜边长为a，则其斜边上的高为（）A.a23B.a2C.2aD.a428.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时，该船在处测得某灯塔位于它的北偏东30°的处(如图)，上午9时行到处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是_________海里(结果保留根号).AB247６题图9.(2017·成都)如图，数轴上点A表示的实数是__________．10.下列命题中，其逆命题成立的是__________．(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．11.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由4个相同的直角三角形拼和而成.若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的和是_________.12.已知⊿ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=_________.13.如图，在等腰直角三角形ABC中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF是___________三角形.14.如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE.若BD＝3，CE＝5，则DE＝___________．15.如图所示，AD⊥BE于点C，C是BE的中点，AB＝DE，求证：AB∥DE.16.(2016·益阳)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，交CB的延长线于点F.求证：AB＝BF.18.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．19.已知，如图，⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证：ED⊥FD◆提升题三、提升题1.观察下列勾股数组：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c.你能发现什么规律，根据你发现的规律，请写出：(1)当a＝19时，则b，c的值是多少？(2)当a＝2n＋1时，求b，c的值．你能证明所发现的规律吗？2.有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.DABCEF参考答案：一、基础题1.D2.C3.A4.A5.C6.C7.解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝AD2－CD2＝132－122＝5.又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.∴∠B＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12AB·BC＋12AC·CD＝12×3×4＋12×5×12＝6＋30＝36.9.证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵∠AED=∠AFD=90°，AD=AD∴∆AED≌∆AFD(AAS)∴DE=DF又∵BD=CD∴Rt∆BED≌Rt∆CFD(HL)∴∠B=∠C二、训练题1.C2.D3.C4.B5.D6.D7.C8.2039.5-110.④11.1012.135°13.等腰直角14.815.证明：∵AD⊥BE，∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∵C是BE的中点，∴BC＝EC.在Rt△ABC和Rt△DEC中，AB＝DE，BC＝EC，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)．∴∠A＝∠D.∴AB∥DE.16.解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.∴AD＝AB2－BD2＝152－92＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.17.证明：∵EF⊥AC，∴∠F＋∠C＝90°.∵∠A＋∠C＝90°，∴∠A＝∠F.又∵DB＝BC，∠FBD＝∠ABC，∴△FBD≌△ABC(AAS)．∴AB＝BF.18.解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．(2)∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF＝∠BAE＝15°.∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.19.连接AD∵AB=AC,D是BC的中点∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=45°又∵∠A=90°∴∠B=∠C=45°∴∠B=∠BAD=∠CAD=45°∴BD=AD又∵BE=AF∴∆BED≌∆AFD∴∠BDE=∠FDA∴∠BDE+∠EDA=∠FDA+∠EDA=90°∴DE⊥DF三、提升题1.解：(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k＋1，观察有如下规律：192＋k2＝(k＋1)2.解得k＝180.故b＝180，c＝181.(2)当a＝2n＋1时，设b＝k，则c＝k＋1，根据勾股定理a2＋b2＝c2得(2n＋1)2＋k2＝(k＋1)2，解得k＝2n(n＋1)．∴b＝2n(n＋1)，c＝2n(n＋1)＋1.证明：∵a2＋b2＝(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，[2n(n＋1)＋1]2＝4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，∴a2＋b2＝c2.∴(2n＋1)2＋[2n(n＋1)]2＝[2n(n＋1)＋1]2.2.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有AB=10.扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB=6.得△ABD的周长为32m.②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.由勾股定理，得AD=45.得△ABD的周长为(20+45)m.如图③，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理，得x=325.得△ABD的周长为380m.