——组合应用题复习巩固:1、组合定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.mnC2、组合数:3、组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm01.nC我们规定:1:mnmnnCC定理例8、在100件产品中有98件合格品,2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?3100161700;C122989506;CC1221298298CCCC3310098CC反思:“至少”“至多”的问题,通常用分类法或间接法求解。练习按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法?(1)甲、乙、丙三人必须当选;(2)甲、乙、丙三人不能当选;(3)甲必须当选,乙、丙不能当选;(4)甲、乙、丙三人只有一人当选;(5)甲、乙、丙三人至多2人当选;(6)甲、乙、丙三人至少1人当选;323936CC0539126CC1419126CC1439378CC231405393939(5)756CCCCCC方法一:5321239756CCC方法二:322314393939(6)666CCCCCC方法一:5051239666CCC方法二:例.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:(1)分成1本、2本、3本三组;(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;12365360CCC12336533360CCCA(一)等分组与分配问题(3)分成每组都是2本的三个组;22264233CCCA(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本.(5)分成4本、1本、1本三组;(6)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人1本,一个人4本;222642CCC22111246ACCC3322111246AACCC例.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法:(7)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本解:可以分为三类情况:①“2、2、2型”的分配情况,有种方法;22264290CCC②“1、2、3型”的分配情况,有种方法;12336533360CCCA③“1、1、4型”,有种方法,436390CA所以,一共有90+360+90=540种方法.点评:本题是分组中的“平均分组”问题.一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元素),共有mmmmnmnmmnnCCCA种方法(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份,二份各1件,另一份4件,有多少种分法?(2)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?641111062123150CCCC62221064218900CCCC注意:对于排列组合的混合应用题,一般解法是先选后排。例某车间有11名工人,期中有5名钳工,4名车工,另外2名既能当钳工又能当车工,现要在这11名工人中选派4名钳工,4名车工修理一台机床,有多少种选派方法?(二)多面手问题4413422456255254CC+CCCCCC185解:第一类:选派的4名钳工中无“多面手”,此时有选派方法种;4456CC第二类:选派的4名钳工中有1名“多面手”,此时有选派方法134255CCC第三类:选派的4名钳工中有2名“多面手”,此时有选派方法224254CCC由分类加法计数原理,不同的选派方法共有:某小组共有10人,期中有5人会英语,7人会俄语,其中有2人既会外语又会俄语,现要在这10人中选派4人,其中2人做英语翻译,2人做俄语翻译,有多少种选派方法?16322252612132723CCCCCCC(三)元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额,再分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插入隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为11mnC练习、(1)10个优秀指标分配给6个班级,每个班级至少一个,共有多少种不同的分配方法?(2)10个优秀指标分配到1、2、3三个班,若名额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方法?分析:(1)这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可构造数学模型,用5个隔板插入10个指标中的9个空隙,即有种方法。按照第一个隔板前的指标数为1班的指标,第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指标,以此类推,因此共有59C59126C(2)先拿3个指标分给二班1个,三班2个,然后,问题转化为7个优秀指标分给三个班,每班至少一个.由(1)可知共有种分法2615C练习:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子,每盒至少1球的放法有多少种?隔板法:待分元素相同,去处不同,每处至少一个。变式将7只相同的小球全部放入4个不同盒子,每盒可空,不同的放法有多少种?120310C12037C•例1:从一楼到二楼共有17级台阶,上楼时可以一步走1级,也可以一步走两级,若要求11步走完楼梯,则有多少种不同的走法?462611C(四)、行走问题练习:如图,从5×6方格中的顶点A到顶点B的最短路线有多少条?462611C课后练习:1.某施工小组有男工7人,女工3人,选出3人中有女工1人,男工2人的不同选法有多少种?3.要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛,每班至少选1人,这10个名额有多少种分配方法?2.由10人组成的课外文娱小组,有4人只会跳舞,有4人只会唱歌,2人均能。若从中选出3个会跳舞和3个会唱歌的人的排演节目,共有多少种不同的选法?(四)顺序固定问题例(1)7人排成一列,甲必须在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法?解:(1)解法一:7人排队,2人顺序固定,共有7722A765432520A(种)解法二:先从7个位置中选5个位置,排上其余5人,剩下2人直接插入。共有57A2520(种)(2)有5个节目的节目单中要插入2个新节目,保证原有节目顺序不变的排法有多少种?解:(1)解法一:相当于7个节目全排列且要求5个顺序固定,因而有解法二:两个节目一个一个地插入,先插第一个,有6种插法,再插第二个节目,有7种插法。因此总共有7755A7642A(种)6742(种)排法。nnnmmnAAAnnmmm个元素的全排列中有()个元素顺序固定,有种排法。练习1.马路上有编号为1,2,3,…,10的十盏路灯,为节约用电又不影响照明,可以把其中3盏灯关掉,但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏,在两端的灯都不能关掉的情况下,有多少种不同的关灯方法?解:(插空法)本题等价于在7只亮着的路灯之间的6个空档中插入3只熄掉的灯,故所求方法总数为种方法3620C练习2.一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有()A.24种B.36种C.48D.72种B练习3.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有()A.20种B.30种C.40种D.60种A练习4.某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种(用数字作答).2161.5个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且票必须分完,那么不同的分法种数是.2.某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中有2位同学要么都请,要么都不请,共有种邀请方法.3.一个集合有5个元素,则该集合的非空真子集共有个.4.平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这两组平行线相交,可以构成个平行四边形.5.空间有三组平行平面,第一组有m个,第二组有n个,第三组有t个,不同两组的平面都相交,且交线不都平行,可构成个平行六面体455C9830222mntCCC22mnCC课堂练习:6.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位,使其中有3个人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位不变,共有种不同的调换方法7.某兴趣小组有4名男生,5名女生:(1)从中选派5名学生参加一次活动,要求必须有2名男生,3名女生,且女生甲必须在内,有种选派方法;(2)从中选派5名学生参加一次活动,要求有女生但人数必须少于男生,有____种选派方法;(3)分成三组,每组3人,有_______种不同分法.3122440C3645280课堂练习:8.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问可以组成多少个三位数?解:可以分为两类情况:①若取出6,则有种方法;②若不取6,则有种方法,211182772()ACCC1277CA根据分类计数原理,一共有+=602种方法211182772()ACCC1277CA课堂练习:9.某餐厅供应盒饭,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还需准备不同的素菜_____种.(结果用数值表示)7【解题回顾】由于化为一元二次不等式n2-n-40≥0求解较繁,考虑到n为正整数,故解有关排列、组合的不等式时,常用估算法.10.某电视台邀请了6位同学的父母共12人,请这12位家长中的4位介绍对子女的教育情况,如果这4位中恰有一对是夫妻,那么不同选择方法的种数是()(A)60(B)120(C)240(D)270C11.某次数学测验中,学号是i(i=1、2、3、4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{86,87,88,89,90},且满足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4),则四位同学的成绩可能情况有()(A)5种(B)12种(C)15种(D)10种CB12.表达式可以作为下列哪一问题的答案()(A)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有一个盒子放两个球的方法数(B)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有一个盒子空着的方法数(C)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有两个盒子放两个球的方法数(D)n个不同的球放入不同编号的n个盒子中,只有两个盒子空着的方法数211nnnnCA1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合应用题的基本思想方法;2.对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、特殊位置;3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除法或分类解决;4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问题.课堂小结5.需要注意的是,均匀分组(不计组的顺序)问题不是简单的组合问题,如:将3个人分成3组,每组一个人,显然只有1种分法,而不是种,一般地,将m、n个不同元素均匀分成n组,有种分法;1113216CCC(-1)mmmmnnmmmmCCCA例.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法?(2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种?两个空盒呢?解:(1)根据分步计数原理:一共有种方法;44256(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法;第二步:从四个不同的盒中任取三个将球放入有种方法,所以,一共有=144种方法24