正弦余弦定理应用举例课件

一、正弦定理RCcBbAa2sinsinsinABCabcABCBacAbcCabSsin21sin21sin21正弦定理应用的两种类型：1）知两角和任一边，求其它的两边和一角2）知两边和其中一边的对角，求另一边和角三角形的一些基本性质1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°2）大边对大角，即ab∠A∠BABCabc二、余弦定理Ccosab2bacBcosac2cabAcosbc2cba222222222ab2cbaCcosac2bcaBcosbc2acbAcos222222222ABCabc利用余弦定理可解决两类解三角形问题（1）知三边求三角（2）知两边和它们的夹角，求第三边，进而可求其它的角ABC高度角度距离正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用工具：经纬仪，钢卷尺等测量角和距离解应用题中的几个角的概念1、仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图解三角形的应用----实地测量举例想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？AB解三角形的应用----实地测量举例想一想：如何测定河两岸两点A、B间的距离？ABαβC在B的同一侧选定一点C例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形解：根据正弦定理，得答：A、B两点间的距离为65.7米。解三角形的应用----实地测量举例为了测定河对岸两点A、B间的距离。ABCD在岸边选定基线CD.例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。.AB45ACB60ACD30CDBADB23CDBA两点的距离，求，，千米，定的距离，在河的这边测两点间、如图，为了测量河对岸课堂练习：ABCD30°45°30°60°解法1：1.在△BDC中求BD2.在△ABD中求AB46AB例2解法2：1.在△BDC中求BC2.在△ABC中求AB在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.注意：在例题中我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明解应用题的基本思路1.审题（分析题意，弄清已知和所求，根据题意，画出示意图；2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）3.求模（正确运用正、余弦定理求解）4.还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：例题3：在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，求山高。BA60CA45BC32CD解:在△ABC中,∠ABC=30°,∠ACB=135°，∴∠CAB=180－(∠ACB+∠ABC)=180°－(135°+30°)=15°又BC=32,由正弦定理,得sinBACsinABCBCACsinABC32sin3016sinBACsin15sin15BCAC例题3：在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高米，求山高。BA60CA45BC32CD在等腰Rt△ACD中，故22168216(31)22sin15sin15CDAC∴山的高度为米。16(31)练习1．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．（1）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度（2）练习题中涉及一个怎样的三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB练习1．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．最大角度最大角度最大角度最大角度已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夹角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：顶杆BC约长1.89m。CAB例4、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？练习：一艘船以30nmile/h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东30o，30min后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75o方向上。求灯塔S和B处的距离。练习4国家计划在江汉平原A，B，C三城市间修建一个大型粮食储备库，要求粮库修在与三市等距离的地方，与粮库相应的附属工程是从粮库修三条通往三市的公路，已知A，B，C三市两两间的最短距离分别为60公里，50公里和40公里，且公路造价为50万元/公里，求出三条公路的最低造价。（结果保留两位小数，）6457.27ABCO605040O605040BAC解：如图，依题意设圆O为的外接圆，则O为粮库修建地，令AB=60，BC=50，AC=40，要使公路的总造价最低，则公路总长应为3OAABCR47sin43506024050602cos222222BBCBAACBCBAB77160sin2BACR即7780R所以，公路的最低造价为66.453536457.278050（万元）答：略1、解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明解应用题的基本步骤练习：（1）在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60o，C点的俯角为70o，则∠BAC等于（）（A）100（B）500（C）1200（D）1300（2）若P在Q的北偏东44o50，，则Q在P的（）（A）东偏北45o10，（B）东偏北45o50，（C）南偏西44o50，（D）西偏南45o50，（3）当太阳光线与地面成θ角时，长为l的木棍在地面上的影子最长为_____；（4）在一幢高40米的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60o，塔底的俯角为30o，则该塔高为_____米；