正弦函数y=sinx的图象与性质

正弦函数y=sinx的图象32x22yO1-1O1BA(O1)(B)方法:取一系列的x的值,找到这些角的正弦线,再把这些正弦线向右平移,使他们的起点分别与x轴上表示的数的点重合,再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来就得到正弦函数y=sinx在区间[0,2π]上的图象.y=sinx,x∈[0,2π]y=sinx,x∈R因为正弦函数是周期为2kπ(k∈Z,k≠0)的函数,所以函数y=sinx在区间[2kπ,2(k+1)π](k∈Z,k≠0)上与在区间[0,2π]上的函数图象形状完全一样,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx(x∈[0,2π])的图象向左,右平行移动(每次平行移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx(x∈R)的图象,如下图所示.xy1-1472352232223225237240如何画出正弦函数y=sinx(x∈R)的图象呢？思考与交流:图中,起着关键作用的点是哪些?找到它们有什么作用呢?0,0,123,122,0,0找到这五个关键点,就可以画出正弦曲线了!如下表xy=sinx00210-10322．．．2．32xy0π．2π1-1x．．．．．五点法xy=sinxy=-sinx02322010-100-1010．．．2．32xy0π．2π1-1x描点得y=-sinx的图象y=sinxx∈[0,2π]y=-sinxx∈[0,2π]三、例题分析例用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.解(1)列表:xy=sinxy=1+sinx02322010-1012101(2)列表:描点得y=1+sinx的图象．．．2．32xy0π．2π1-1xy=sinxx∈[0,2π]y=1+sinxx∈[0,2π]四、练习用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图。(1)y=2+sinx;(2)y=sinx-1；(3)y=3sinx.y=sinx-1x∈[0,2π]y=sin3xx∈[0,2π]y=2+sinxx∈[0,2π]．．．2．32xy0π．2π1-1x23小结：作正弦函数图象的简图的方法是：点不在多,五个就行!“五点法”正弦型函数y=Asin(x+)的图象数学使人聪颖数学使人严谨数学使人深刻数学使人缜密数学使人坚毅数学使人智慧物理背景在物理中,简谐振动中如单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y=Asin(ωx+φ)的函数（其中A,ω,φ都是常数）.函数y＝Asin(ωx＋φ)，其中(A0,ω0)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间，称为这个振动的周期；2T单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；12fT称为相位；x=0时的相位φ称为初相。x2oxy---11--13232656734233561126sin[0,2]yxx在函数的图象上，起关键作用的点有：sin,[0,2]yxx最高点：最低点：与x轴的交点：(0,0)(,0)(2,0))1,(23)1,2(在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。知识回顾:02322xxsin2xsin21xsin10001002210002210例1作函数及的图象。xysin21xysin2解：1.列表新课讲解:y=2sinxy=sinxy=sinx12xyO212212.描点、作图：周期相同xyO21221xyO21221y=2sinxy=sinxy=sinx12xyO21221y=sinx21y=2sinx一、函数y=Asinx(A0)的图象函数y=Asinx(A0且A≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当0A1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的。y=Asinx，x∈R的值域为[-A,A]，最大值为A，最小值为-A。若A0可先作y=－Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折。|A|称为振幅，这一变换称为振幅变换.1.列表：xx2x2sin424302322100010例2作函数及的图象。xy21sinxy2sinxOy2122132.描点：y=sin2xy=sinx连线:1sin2yx对于函数x0234x2102232x21sin010－101.列表：xyO211342.描点作图：y=sinx12y=sinxxyO21134y=sinx12y=sin2xy=sinx振幅相同xyO21134y=sinx的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）。y=sin2x的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）。2121二、函数y=sinx(0)的图象y=sinx21y=sin2xy=sinx函数y=sinx(0且≠1)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当01时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的。1练习：作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：xyxy31sin)2(4sin)1(x11O23411(3)sinsin22yxyx的图象与的图象的关系：xy21sin21伸长为原来的2倍图象上各点横坐标xysin21xysin缩短为原来的一半图象上各点纵坐标xysin21sinyx11sin22yxy例3作函数及的图象。)4sin(xy)3sin(xy230226561133734x3x)3sin(x010-10yxO21134sin()3yx)4sin(xy34三、函数y=sin(x+φ)图象)3sin(xy)4sin(xy函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ0时)或向右(当φ0时)平移|φ|个单位而得到的。y＝sin(x＋φ)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换。xO211y例4作函数及的图象。)42sin(xy)32sin(xy23022125121166732x32x)32sin(x010-106sin(2)3yxy=sin2x四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系yxO1128四、函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系yxO1126sin(2)3yxy=sin2x)42sin(xy?)631sin(2sin:的图象的图象得到怎样由思考xyxyxysin函数的图象)6sin(xy的图象)631sin(xy的图象)631sin(2xy6)1(向右平移倍横坐标伸长到原来的3)2(纵坐标不变倍纵坐标伸长到原来的2)3(横坐标不变画法一：1-１2-2xoy3-322627213y=sinxy=sin(x-)①6)631sin(xy②)631sin(2xy③.)6312()631sin(2)(内的图象一个周期在画函数五点法利用画法二Txy).6(3,631XxxX则令..,,,2,23,,2,0然后将简图再描点作图五点得到的值和可求得相对应的时取当yxX.,,,2,23,,2,0再描点作图五点得到的值和可求得相对应的时取当yxX22721325Xxy2232000022小结：y＝Asin(ωx＋φ)的各种变化方式一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：第一步：先把正弦曲线y=sinx上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，第二步：再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，1第三步：最后把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)。练习1.若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为()24A.y＝sin(x＋)B.y＝sin(x＋)C.y＝sin(x－)D.y＝sin(x＋)－432444A2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为()A.y＝2sin(3x－)B.y＝2sin(3x＋)C.y＝2sin(＋)D.y＝2sin(－)994663x63x6B3.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则θ=()(A)2kπ+(k∈Z)(B)2kπ+π(k∈Z)(C)kπ+(k∈Z)(D)kπ+π(k∈Z)62C4.函数y=3sin(2x－5)的对称中心的坐标为;(,0)(k∈Z)522k5.函数y=2sin(2x+)(x∈[－π,0］)的单调递减区间是;65[,]63课后作业:课本P49练习A1(2)(4)2(3)(4)世上没有什么天才天才是勤奋的结果