正弦函数余弦函数的性质

第一课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质问题提出1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1222222222222y=cosx2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.知识探究（一）：周期函数的概念思考1：由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin()xkxkZ.思考2：设f(x)=sinx，则可以怎样表示？其数学意义如何？sin(2)sinxkx思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数就叫做最小正周期。最小正周期定义2周期函数一定有最小正周期吗？周期与最小正周期之间有什么样的联系呢？想一想：注：对于有最小正周期的函数，如果没有特别说明，书上讲的周期，指的就是最小正周期。判断下列命题是否正确？1.因为，所以f(x)为周期函数，周期为0；2.因为，所以f(x)为周期函数，周期为2x；3.因为，所以是的周期；4.因为，所以是的周期。辨析)0()0(fxf)()2(xfxxf30sin)12030sin(120xxfsin)(xxsin)4sin(4xxfsin)(正、余弦函数是周期函数，任何一个常数2kπ（k∈Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？知识探究（二）：周期概念的拓展思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？思考2：函数f(x)=sinx（x0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？例1求下列函数的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；2sin()26xyp=-（3），x∈R；（4）y=|sinx|x∈R.理论迁移思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？思考5：一般地，函数的最小正周期是多少?sin()yAxwj=+(0,0)Aw?小结作业1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x＋T)=f(x)恒成立.2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.4.函数和的最小正周期都是，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用.sin()yAxwj=+cos()yAxwj=+(0,0)Aw?2pw1.4.2正弦函数、余弦函数的性质第二课时周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinxxyO1-1222222222222y=cosx思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是减函数.[222kk[222kk思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间上都是减函数.[22kk[22kkxyO1-1222222222222y=cosx思考5：正弦函数在每一个开区间（2kπ，＋2kπ）(k∈Z)上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？2探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值－1？正弦函数当且仅当时取最大值1,当且仅当时取最小值-12xk2xk思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值－1？余弦函数当且仅当时取最大值1,当且仅当时取最小值-1.2xk(21)xk思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinωx（Aω≠0）的值域是什么？思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？正弦曲线关于点（kπ，0）和直线对称.()2xkkZpp=+?[-|A|，|A|]思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？余弦曲线关于点和直线x=kπ对称.(,0)2kpp+理论迁移例1求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=－3sin2x，x∈R.小结作业1.正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinωx是奇函数，y=Acosωx（Aω≠0）是偶函数.作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.例2比较下列各组数的大小:(1)sin()sin();1810与2317(2)cos()cos().5与知识探究（二）：周期概念的拓展思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≤0）是否为周期函数？思考2：函数f(x)=sinx（x0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是否为周期函数？例2已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈(0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.例1已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？例3求函数，x∈[－2π，2π]的单调递增区间.1sin()23yx