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1.4充要条件10例题讲解及练习1.4充要条件例题讲解•知识回顾⑴命题：能判断真假的句子。⑵充要条件与必要条件的概念：◇若p则q，由条件p推出结论q，即：p⇒q那么说p是q的充分条件；由结论q推出条件p，即：p⇐q,那么p是q的必要条件。⑶充要条件的概念：◆如果p⇒q并且p⇐q,那么说p是q的充分条件且必要条件，简称充要条件。⑷命题按条件和结论的充分性、必要性可以分为四类：①充分不必要条件，即p⇒q但p⇍q.②必要不充分条件，即p⇏q但p⇐q.③既充分又必要条件，即p⇒q且p⇐q.④既不充分又不必要条件，即p⇏q且p⇍q.例题讲解例1下列各组命题中，P是q的什么条件？⑴p：x是整数；q：x是自然数。⑵p：∆ABC是等边三角形；p：∆ABC是等腰三角形。⑶p：小李是近视眼；p：小李没有肝炎。⑷p：x-2=0；q：x=2.解：⑴因为p⇏q，但q⇒p所以p是q的必要不充分条件。⑵因为p⇒q,但q⇏p，所以p是q的充分不必要条件。⑶因为p⇏q且q⇏p,所以p是q的既不必要又不充分条件。⑷因为p⇒q且q⇒p所以p是q的既充分又必要条件。（即充要条件）例题讲解例2“a＜5”的一个必要不充分条件是（）A.a＜3B.a＜6C.a=5D.a＞5解：因为a＜5⇏a＜3,但a＜3⇒a＜5,所以“a＜5”是a＜3的一个必要不充分条件。故：选A.当堂训练1、学案P27/训练题4.2、巩固训练P28/A组.习题解答P28/1.4X＜-2是不等式x2-4＞0成立什么条件？【解析】∵x2-4=（x+2）（x-2）∴x2-4＞0可化为（x+2）（x-2）＞0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组①，得x＞2，解不等式组②，得x＜-2，∴（x+2）（x-2）＞0的解集为x＞2或x＜-2，即一元二次不等式x2-4＞0的解集为x＞2或x＜-2．故：X＜-2是不等式x2-4=0成立的必要不充分条件。习题解答2、一次函数y=-mx/n+1/n的图像经过第一、三、四象限的必要不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1；B．mn＜0；C．m＞0，且n＜0；D．m＜0，且n＜0例题讲解例2求“一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根”的充要条件。解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是两根之积x1×x2=c/a=1/a0即a＜0。此时判别式=b2-4ac0,一定有正负两根,解得即a0例3一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件。解：因为一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=1/a＜0，即a＜0，而a＜0的一个充分不必要条件是a＜-1。例4a＞0是一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的______条件．（填条件类型）解：因为一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根，f（0）=1＞0，所以a＜0；a＞0推不出一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根；一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根，推不出a＜0．故答案为：既不充分也不必要．复习韦达定理定理内容•一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且△=b2-4ac0)中，设两个根为x1，x2则：①X1+X2=-b/a韦达定理②X1·X2=c/a③1/X1+1/X2=（X1+X2）/X1·X2•用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，①若b²-4ac0则方程没有实数根②若b²-4ac=0则方程有两个相等的实数根③若b²-4ac0则方程有两个不相等的实数根•定理拓展(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为-1，则a-b+c=0(5)若一根为1，则a+b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根韦达定理求根公式由一元二次方程求根公式：则有：例题讲解例5一元二次方程ax2+2x+1=0有一个根的充要条件是什么？•分析：用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，①若b²-4ac0则方程没有实数根②若b²-4ac=0则方程有两个相等的实数根③若b²-4ac0则方程有两个不相等的实数根解：∵一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中有根，即b²-4ac≥0。∴一元二次方程ax2+2x+1=0有一个根的充要条件是22-4a×1≥0,且a≠0，即：a≤1且a≠0.例题讲解例6若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围。解析：若ax2+bx+c=0(a≠0)有两个负根,由根与系数的关系知：X1+X2=-b/a＜0X1·X2=c/a＞0即：方程8x2+（k+1）x+k-7=0有两个负根⇔−(k+1)/8＜0(k−7)/8＞0且(k+1)2-4×8×(k-7)≥0解得k＞−1k＞7，因此得出k的取值范围是{k|k＞7}．故答案为：{k|k＞7}．习题解答学案：B组1、“X＞0”是“点（x,y）在第一象限的”（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件2、在下列各命题中，p是q的什么条件？①p：（x-1）（x-2）=0；q：x-2=0②p：两三角形对应边相等；q：两三角形对应角相等。③P：点（x,y）在第二象限；q：x+y＞0.④P：点（x,y）在第一象限；q：x+y＞0.解：①因为p⇏q但p⇐q,所以p是q的必要不充分条件。②因为p⇒q且p⇐q,所以p是q的充要条件。③因为p⇏q且p⇍q,所以p是q的不充分又不必要条件。④因为p⇒q但p⇍q,所以p是q的充分不必要条件。B习题解答3、求“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为空集”的充要条件。解：若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是空集，由二次函数y=ax2+bx+c的图象性质，可知或这就是所探求的必要条件.若a=b=0,c＜0，此时的不等式c≥0，一个负数不可能大于或等于零.此时解集为空集.若a＜0、b2-4ac＜0，则y≤0.显然故对任意实数x，原不等式不成立，即其解集是空集.这就证明了其充分性.综上所述，关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是空集的充要条件是或•如果关于x的不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为空集，令△=b2-4ac，那么（）A．a＜0，△＞0；B．a＜0，△≤0；C．a＞0，△≤0；D．a＞0，△≥0.解：因为a≠0，所以不等式ax2+bx+c＜0为一元二次不等式，要使不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为空集，则a＞0，且△=b2-4ac≤0．故选C．作业：学案P27/训练1、2P28/A、B组