拉格朗日乘数法解不等式

拉格朗日乘数法解不等式张永强赵临龙(安康学院陕西、安康725000)【摘要】本文通过例题说明如何用拉格朗日乘数法证明条件不等式【关键词】拉格朗日乘数法不等式目标函数1.已知0x，0y且1xy，求证2225(2)(2)2xy证明：构造目标函数为2225(,)(2)(2)2Fxyxy令朗格朗日函数为2225(,,)(2)(2)(1)2fxyxyxy（为朗格朗日乘数）240fxx240fyy10fxy解得：12xy令222fAx20fBxy222fCy20ACB,0A(,)Fxy在11(,)22处取得最小值，11(,)022F2225(2)(2)2xy2.,ab，1ab，求证1125()()4abab证明：构造目标函数为1125(,)()()4Fababab令朗格朗日函数为1125(,,)()()(1)4fabababab（为朗格朗日乘数）222(1)(1)0fbaaab222(1)(1)0fabbab10fab解得12ab，令22242(1)40fabAaab22222(1)(1)9fabBabab22242(1)40fbaCbab20ACB,0A(,)Fab在11(,)22处取得最小值，11(,)022F1125()()4abab3.,0ab，1ab，求证：2222(1)(1)1ab证明：构造目标函数为2222(,)(1)(1)1Fabab令朗格朗日函数为2222(,,)(1)(1)1(1)fababab（为朗格朗日乘数）24(1)0faaa24(1)00fbbb10fab解得12ab，或10ab，或01ab，当12ab时显然满足不等式；当10ab时，令2224(31)8fAaa20fBab2224(31)8fCbb20ACB,0A;由于(,)(,)FabFba，(1,0)(0,1)FF(,)Fab在(0,1)和(1,0)处取得最小值(,)(1,0)(0,1)0FabFF2222(1)(1)1ab参考文献：[1]邓东皋、尹小玲，数学分析简明教程，高等教育出版社/2002[2]华东师范大学数学系，数学分析（第3版），高等教育出版社/2003