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2015-2016学年湖南省永州市宁远一中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1．下列语句不是命题的是()A．祁阳一中是一所一流名校B．如果这道题做不到，那么这次考试成绩不理想C．∃x∈R，使得lnx0＜0D．画一个椭圆2．已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设α表示平面，a，b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①a∥α，a⊥b⇒b⊥α；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥b⇒b∥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．其中正确的是()A．①②B．②④C．③④D．②③4．椭圆的焦距为()A．10B．5C．D．5．双曲线﹣=1的离心率为()A．B．C．D．26．若点P到直线y=﹣2的距离比它到点A（0，1）的距离大1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．抛物线x2=的焦点到准线的距离是()A．2B．1C．D．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是()A．B．C．D．9．已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是()A．x+2y+8=0B．x+2y﹣8=0C．x﹣2y﹣8=0D．x﹣2y+8=010．直线y=kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是()A．4B．2C．D．不能确定11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为()A．B．C．D．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）13．把命题“∃x0∈R，x02﹣2x0+1＜0”的否定写在横线上__________．14．已知双曲线﹣=1的右焦点为（3，0），则该双曲线的渐近线方程为__________．15．已知椭圆+y2=1上任意一点P及点A（0，2），则|PA|的最大值为__________．16．已知双曲线C与椭圆+=1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数，若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于__________．三、解答题（本大题共70分，17题8分，18-20题12分，21-22题13分）17．写出下列命题p的非p形式（否定）（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三条直线两两相交（3）p：一元二次方程至多有两个解（4）p：2＜x≤3．18．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．19．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，求实数a的取值范围．20．分别求适合下列条件的标准方程：（1）实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y=±x的双曲线的标准方程．21．（13分）（1）求直线y=x+1被双曲线截得的弦长；（2）求过定点（0，1）的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程．22．（13分）曲线C1上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（﹣，0），F2（，0）抛物线C2的焦点是直线y=x﹣1与x轴的交点，顶点为原点O．（1）求C1，C2的标准方程；（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同两点M，N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年湖南省永州市宁远一中高二（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1．下列语句不是命题的是()A．祁阳一中是一所一流名校B．如果这道题做不到，那么这次考试成绩不理想C．∃x∈R，使得lnx0＜0D．画一个椭圆【考点】四种命题；命题的真假判断与应用．【专题】综合法；简易逻辑．【分析】利用命题的定义即可判断出．【解答】解：A．B．C．都是可以判断真假的陈述句，因此是命题．而D．不是一个陈述句，因而不是命题．故选：D．【点评】本题考查了对于命题的定义的理解，考查了推理能力，属于基础题．2．已知x∈R，则“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【解答】解：解x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】能正确理解x＜0，或x＞3与x＞4的关系，并理解充分条件与必要条件的概念．3．设α表示平面，a，b表示两条不同的直线，给定下列四个命题：①a∥α，a⊥b⇒b⊥α；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③a⊥α，a⊥b⇒b∥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b．其中正确的是()A．①②B．②④C．③④D．②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】对于①与③，可以利用长方体中的线（棱）与面（表面、或对角面）间的关系进行判断；对于②与④，根据线面垂直的性质定理判断．【解答】解：如图在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，令直线A1B1=a，B1C1=b，底面ABCD=α，显然a∥α，a⊥b，但b∥α，故①假命题；类似的令AA1=a，AD=b，底面ABCD=α，显然满足a⊥α，a⊥b，但b⊂α，故③假命题；对于②④，根据两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这样平面；以及垂直于同一个平面的两条直线互相平行．知②④都是真命题．故选B．【点评】以命题的真假判断为载体考查空间线与面的位置关系是高考中的常考题型，要结合图形熟练掌握这些定理、推论等，有时候要借助于特殊的几何体辅助判断．4．椭圆的焦距为()A．10B．5C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆标准方程得a2=16，b2=9．再根据椭圆基本量的关系得c==，由此即可得到该椭圆的焦距．【解答】解：∵椭圆方程为∴a2=16，b2=9，得c==由此，可得椭圆的焦距等于2c=2故选：D【点评】本题给出椭圆的方程，求椭圆的焦距，着重考查了椭圆的标准方程和椭圆基本量的关系等知识，属于基础题．5．双曲线﹣=1的离心率为()A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线的标准方程可以求得a和c，从而求得离心率e=的值．【解答】解：由双曲线﹣=1可得a=2，b=，∴c=3，∴e==，故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义和标准方程，以及简单性质的应用，求出c=3，是解题的关键．6．若点P到直线y=﹣2的距离比它到点A（0，1）的距离大1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意得，点P到直线y=﹣1的距离和它到点（0，1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，1）为焦点，以直线y=﹣1为准线的抛物线．【解答】解：∵点P到直线y=﹣2的距离比它到点A（0，1）的距离大1，∴点P到直线y=﹣1的距离和它到点（0，1）的距离相等，故点P的轨迹是以点（0，1）为焦点，以直线y=﹣1为准线的抛物线，故选：D．【点评】本题考查抛物线的定义，抛物线的标准方程，判断点P的轨迹是以点（0，1）为焦点，以直线y=﹣1为准线的抛物线，是解题的关键．7．抛物线x2=的焦点到准线的距离是()A．2B．1C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=的方程可知：，解得p．即可得出此抛物线的焦点到准线的距离d=p．【解答】解：抛物线x2=的方程可知：，解得p=．∴此抛物线的焦点到准线的距离d=．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．8．已知椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该椭圆的离心率是()A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，由椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合得到椭圆是焦点在x轴上的椭圆，且求得半焦距c，然后利用a2=b2+c2求出椭圆的半长轴，则离心率可求．【解答】解：由抛物线y2=8x，得2p=8，，其焦点坐标为F（2，0）．因为椭圆的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，所以椭圆的右焦点为F（2，0）．则椭圆是焦点在x轴上的椭圆，由a2=b2+c2=2+22=6，得．所以椭圆的离心率为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的简单性质，涉及圆锥曲线离心率的求解问题，一定要找到关于a，c的关系，隐含条件a2=b2+c2的应用是解答该题的关键，此题是基础题．9．已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是()A．x+2y+8=0B．x+2y﹣8=0C．x﹣2y﹣8=0D．x﹣2y+8=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），由“点差法”可求出直线l的斜率．再由由点斜式可得l的方程．【解答】解：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，将P1、P2两点坐标代入椭圆方程+=1，+=1相减得直线l斜率：k==﹣=﹣=﹣=﹣．由点斜式可得l的方程为x+2y﹣8=0．故选：B．【点评】本题考查椭圆的中点弦方程，解题的常规方法是“点差法”．又叫平方差法．10．直线y=kx+1，当k变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是()A．4B．2C．D．不能确定【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ），利用三角函数即可得到结论．【解答】解：直线y=kx+1恒过定点P（0，1），且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆截得的弦长，即为点P与椭圆上任意一点Q的距离，设椭圆上任意一点Q（2cosθ，sinθ）∴|PQ|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=﹣3sin2θ﹣2sinθ+5∴当sinθ=﹣时，∴，故选C【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转化为点P与椭圆上任意一点Q的距离的最大值．11．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为()A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出．【解答】解：不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a．则∠PF1F2是△PF1F2的最小内角为30°，∴﹣，∴（2a）2=（4a）2+（2c）2﹣，化为=0，解得．故选C．【点评】熟练掌握双曲线的定义、离心率计算公式、余弦定理是解题的关键．12．已知点F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出A，B两点的纵坐标，由△ABF2是锐角三角形知，tan∠