3.2.1几类不同增长的函数模型(全课时)

1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数，对数函数及幂函数的增长差异;2、结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义;3、体会数学在实际问题中的应用价值。1859年，当澳大利亚的一个农夫为了打猎而从外国弄来几只兔子后，一场可怕的生态灾难爆发了。兔子是出了名的快速繁殖者，在澳大利亚它没有天敌，数量不断翻番。1950年，澳大利亚的兔子的数量从最初的五只增加到了五亿只，这个国家绝大部分地区的庄稼或草地都遭到了极大损失。绝望之中，人们从巴西引入了多发黏液瘤病，以对付迅速繁殖的兔子。整个20世纪中期，澳大利亚的灭兔行动从未停止过。“指数爆炸”模型例1:假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：(1)比较三种方案每天回报量；(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.投入资金相同，回报量多者为优我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10x(x∈N*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8000000000…01010101010101010…100.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.4我们来计算三种方案所得回报的增长情况：下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：4080120160y24681012xoy=40y=10x124.0xy累计回报表结论：投资1~4天，应选择方案一；投资5~8天，应选择方案二；投资9天(含9天)以上，应选择方案三。天数方案123456789…30一404040404040404040…40二102030405060708090…300三0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4…214748364.8例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有25.01log7xxxy成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)≈-0.31670,即log7x+10.25x所以，当x∈[10,1000]，25.01log7xx例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？(1)、由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1(2)、再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有25.01log7xxxy成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)≈-0.31670,即log7x+10.25x所以，当x∈[10,1000]，25.01log7xx讨论一下函数：在区间上的增长情况吗？,10logaxya0nxyn,10aayx,0,0kkxy1、由表格数据观察三者的增长速度。xyxyyxyx22log,,2,22、由图象观察三者的增长速度。从图可以看出：虽然它们都是增函数，但是它们的增长速度是不同的。以三个函数为例探究三类函数的增长差异：函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的函数值表:0.20.611.422.6340.41.222.845.2681.1491.51622.63946.0638160.040.3611.9646.76916-2.32-0.73700.48511.3791.5852xy2logxy2xy22xyxxyo1124y=2xy=x2y=log2xy=2x函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的图象:综上所述：(1)、在区间(0,+∞)上，y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数。(2)、随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。总存在一个x0，当xx0时，就有:logaxkxxnax1.当x越来越大时，增长速度最快的是()xyDxyCxyBxyA2100..ln100.100.100D2.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近()x123456y0.250.490.7611.261.51xbayDbaxyCbayBbkxyAx....2A3.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近()t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.0122.21.22.log.22tuDtuCuBtuAtC4.函数与交点个数()3.2.1.0.DCBA22xyyxxfxgDxgxfCxfxgBxgxfA....5.时有()Rxxxgxfx,2,3BA【总一总★成竹在胸】几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数对数函数没有增长直线上升指数爆炸“慢速”增长解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题数学问题的解还原说明实际问题的解演算推理