3.2.1几类不同增长的函数模型(共2课时)

3.2.1几类不同增长的函数模型高一数学备课组集体备课主备人:唐强2013.11.5(共2课时)有人说，一张普通的报纸对折30次后，厚度会超过10座珠穆朗玛峰的高度，会是真的吗？“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有６４格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”“爱卿，你所求的并不多啊！”例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优.(1)比较三种方案每天回报量；(2)比较三种方案一段时间内的累计回报量.我们来看两个具体问题：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元。函数关系为y=10x(x∈N*)；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。函数关系为y=0.4×2x-1(x∈N*)。分析：方案一：每天回报40元。函数关系为y=40(x∈N*)；x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4…………3040300214748364.8我们来计算三种方案所得回报的增长情况：1010101010101010…1000000000…00.40.81.63.26.412.825.651.2…107374182.4我们看到，底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？三个函数的图象投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。累计回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?根据以上分析,你认为该作出何种选择?结论由例1得到解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解解决某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。思考例2思考怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢?要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择。由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司的要求即可。借助计算机作出三个函数的图象三个函数的图象如下可以看到：在区间[10,1000]上只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方对于模型y=0.25x，它在区间[10,1000]上递增，当x=20时，y=5，因此x∈(20,1000)时，y5，因此该模型不符合要求。对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5，由于它在[10,1000]上递增，因此当xx0时，y5，因此该模型也不符合要求。通过计算确认上述判断(1)由函数图象可以看出，它在区间[10,1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。对于模型y=log7x+1(2)再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有log.xyxx71025成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)≤f(10)≈-0.31670,即log7x+10.25x所以，当x∈[10,1000]，时说明按模型y=log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.log.xx71025综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求.实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题关键目的几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数没有增长直线上升指数爆炸练习：课本98页课后练习。作业：教材Ｐ107习题3.21-4基础过程第二课时探究：,0讨论函数：在区间上的增长情况.log1,ayxa0nyxn1,xyaa0,ykxk1.由表格数据观察四者的增长速度。xyxyyxyx22log,,2,22.由图象观察四者的增长速度。以四个函数为例探究四类函数的增长差异：函数y=2x，y=2x，y=x2，y=log2x的函数值表:x0.20.611.422.634y=2x0.41.222.845.268y=2x1.1491.51622.63946.063816y=x20.040.3611.9646.76916y=log2x-2.32-0.73700.48511.3791.5852xyo1124y=2xy=x2y=log2xy=2x函数y=2x,y=2x,y=x2,y=log2x的图象:结论1：一般地，对于指数函数y=ax(a1)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.结论2：一般地，对于指数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现：在区间(0,+∞)上，随着x的增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.综上所述：(1)在区间(0,+∞)上，y=ax(a1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数。(2)随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。(3)随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。总存在一个x0，当xx0时，就有:logaxkxxnax函数性质y=ax(a＞1)y=logax(a＞1)y=xn(n＞1)在（0，+∞）上的增减性增函数增函数增函数增长的速度越来越快越来越慢相对平衡图象的变化随x的增大与y轴靠近随x的增大与x轴平行随n值而不同种函数模型的性质：1、指数函数是爆炸式增长2、幂函数的增长速度是随底数的增大而向y轴靠近3、对数函数增长速度相对慢一些,0你能用同样的方法讨论函数：在区间上的衰减情况吗？log01,ayxa0nyxn01,xyaa实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题基础过程关键目的几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数没有增长直线上升指数爆炸小结1.当x越来越大时，增长速度最快的是()xyDxyCxyBxyA2100..ln100.100.100D2.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近()x123456y0.250.490.7611.261.51xbayDbaxyCbayBbkxyAx....2A3.一次实验中，x,y函数关系与下列哪类函数最接近()t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.0122.21.22.log.22tuDtuCuBtuAtC4.函数与交点个数()3.2.1.0.DCBA22xyyxxfxgDxgxfCxfxgBxgxfA....5.时有()Rxxxgxfx,2,3DA6.D1.几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数对数函数没有增长直线上升指数爆炸“慢速”增长2.解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括数学问题数学问题的解还原说明实际问题的解演算推理小结：作业：教材Ｐ101练习