3.2.1几类不同增长的函数模型

第三章函数的应用例1、假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一、每天回报40元；方案二、第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三、第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？下面我们先来看两个具体问题.(说说你投资的依据是什么？)投资方案选择原则：投资时间，回报量.我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=40(x∈N*)y=10x(x∈N*)解：设第x天所得回报为y元，则计算三种方案下日回报的增长情况：x/天方案一方案二方案三y/元y/元y/元增加量增加量增加量1234040400010203010100.40.81.60.40.8045678…30………………4040404040400000040506070803001010101010103.26.412.825.651.2214748364.81.63.26.412.825.6107374182.4从表格中获取信息，体会三种函数的增长差异。12346578910200406080100120140yx方案一:y=4012345678910…40404040404040404040…x方案二y=10x12345678910…102030405060708090100…xy=0.4*2x-112345678910…0.40.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8图象法比较三种方案日回报量y=40y=0.4×2x-1x…我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。12346578910200406080100120140y图象法比较三种方案日回报量y=40y=0.4×2x-1x有人认为投资1~4天选择一；5~8天选择二9天以后选择方案三？从每天的回报量来看：第1~4天，方案一最多；第5~8天，方案二最多；第9天以后，方案三最多.下面再看累计的回报数：结论：投资1～6天,应选择方案一;投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，应选择方案三。天数回报/元方案一二三401234567891011801201602002402803203604004401030601001502102803604505506600.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.81.从上述情景中,不同的函数增长模型,增长变化存在很大的差异，你对函数模型的增长情况有什么体会？2.分析函数模型的方法：常数函数：没有增长，保持不变.一次函数：匀速增长，直线上升.指数型函数：急剧增长，指数爆炸.解析法、列表法、图象法.实际应用问题分析、抽象、转化构建数学模型解答数学问题审题数学化寻找解题思路还原（设）（列）（解）（答）★解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程，建立函数模型的程序如下：例2你的公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：其中哪个模型能符合公司的要求？x7y=0.25x,y=logx+1,y=1.002例2涉及了哪几类函数模型？你能用数学语言来描述公司的奖励方案吗？例2.你公司为了实现1000万元总利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？思考:1.本题中涉及了哪几类函数模型2.符合公司要求的模型有什么条件?销售利润x的取值范围:奖金y满足的条件:我们不妨先作出函数图象：通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。4006008001000120020012345678xyo对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。y=5y=0.25x1log7xyxy002.1下面列表计算确认上述判断：7综上所述:模型确实符合公司要求.1logxy2.51.022.1851.042.54………4.954.445.044.442………4.55模型奖金/万元利润10208008101000……1log7xyxy002.10.25yx上述对数函数，指数函数和幂函数在(0,+∞)上都是增函数，但是它们的增长是有差异的，这种差异具体情况是怎么样的呢？问题三：先研究增函数的增长差异：对比函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x0.…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x探究:xyo1124y=2xy=x2y=log2x对比函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x0.的图像。xyo11y=2xy=x250100--1.10E+121.13E+15对比函数模型：y=2x,y=x2,其中x0.设一张纸厚度为0.1毫米，请同学们计算将一张纸，对折n次的厚度？第一次0.2毫米第二次0.4毫米第三次0.8毫米第四次1.6毫米第五次3.2毫米第六次6.4毫米第七次12.8毫米第八次25.6毫米第九次51.2毫米第十次102.4毫米0.12nfn体会指数爆炸增长珠穆朗玛峰的高度为8848.13米，第十五次3276.8毫米=3.2768米问：在理想状态下对折多少次，能达到珠穆朗玛峰的高度？可能吗？在对折27次就高于珠穆朗玛峰了，是13421.7728米第二十次104857.6毫米=104.8576米月球距离地球平均为384401公里≈38万公里，再问：在理想状态下对折多少次，能达到月球？可能吗？第四十二次439804651110.4毫米=439804651.1104米=439804.6511104千米≈43万公里三类函数增长差异的规律：1．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．000,1,log1,0,log.xannxayaayxayxnxxxxxxa综上，在上，函数的增长速度不在同一个“档次”上，随着的增大，总会存在一个当时，就有几类常见函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝指数型函数模型f(x)＝对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)a＞0且a≠1)axn＋b(a，b为常数，a≠0)bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，课后作业优化方案P67，3.2.1