3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义

金品质•高追求我们让你更放心！◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆§3.2复数代数形式的四则运算3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义数系的扩充与复数的引入金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆1．会进行复数代数形式的加、减运算．2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆基础梳理1．复数z1与z2的和：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________.2．复数z1与z2的差：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆3．已知x，y为实数，(2x＋3i)－(1－yi)＝3，则x＝，y＝______.4．已知四边形OABC为平行四边形，O为原点，复数z1，z2对应的向量分别为则z1＋z2对应的向量为_________；z1－z2对应的向量为_______．解析：由(2x－1)＋(3＋y)i＝3得2x－1＝3，3＋y＝0，所以x＝2，y＝－3.答案：2－3OB→CA→OA→，OC→，金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆自测自评1．a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为()A．1＋iB．2＋iC．3D．－2－iD金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆2．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为()A．－4＋20iB．－2＋10iC．－8＋20iD．－2＋20i3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋iBC金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆复数的加减运算计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆跟踪训练1．计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解析：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆复数加减运算的几何意义已知复数z1＝a2－3＋(a＋5)i，z2＝a－1＋(a2＋2a－1)i(a∈R)分别对应向量(O为原点)，若向量对应的复数为纯虚数，求a的值．OZ1→，OZ2→Z1Z2→解析：∵Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→，∴Z1Z2→对应的复数为z＝a－1＋(a2＋2a－1)i－[a2－3＋(a＋5)i]＝(－a2＋a＋2)＋(a2＋a－6)i.又z为纯虚数，∴－a2＋a＋2＝0，a2＋a－6≠0.解得a＝－1.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆跟踪训练2．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量OA→和OB→，其中O为坐标原点，则AB→＝_______.解析：AB→＝OB→－OA→＝－2＋2i，所以|AB→|＝22.答案：22金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆复数的模相关的运算已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.解析：解法一设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，∴a＋a2＋b2＝2，b＝8.解得a＝－15，b＝8.∴z＝－15＋8i.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解法二将原式化为z＝2－|z|＋8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，∴|z|＝2－|z|2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2.∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆跟踪训练3．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.2解析：解法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知，a2＋b2＝1,c2＋d2＝1,(a＋c)2＋(b＋d)2＝2.又由(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0，|z1－z2|2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝.2金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解法二作出z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→.使OZ1→＋OZ2→＝OZ→.∵|z1|＝|z2|＝1，又OZ1→，OZ2→不共线(若OZ1→，OZ2→共线，则|z1＋z2|＝2或0，与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．又|z1＋z2|＝2，∴∠Z1OZ2＝90°，即菱形OZ1ZZ2为正方形．故|z1－z2|＝2.金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆1．已知复数z1＝2＋i,z2＝1＋2i,则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限B金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆3．已知i为虚数单位，则复数i(1＋i)的模等于()A.12B.22C.2D．2C2.若复数z1+z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则z1=____________.答案：4+i金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆4．复平面上两点A(2,3)，B(4,5)，则以A为起点，B为终点的向量所对应的复数是________________．5．计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i]．2＋2i答案：(1)－11i(2)2b＋2ai金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆6.如果复数z＝4＋mi满足条件|z－3|＜2，那么实数m的取值范围是()A．B．C．(0,1)D．(－1,1)7．复平面内两点Z1和Z2分别对应于复数3＋4i和5－2i，那么向量对应的复数为()A．3＋4iB．5－2iC．－2＋6iD．2－6i(－3，3)[－3，3]Z1Z2→AD金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆8．若x是纯虚数，y是实数，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，则x＋y等于()A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i52525252解析：设x＝ai(a∈R)，原方程化为2ai－1＋i＝y－(3－y)i，即－1＋(2a＋1)i＝y－(3－y)i，得－1＝y,2a＋1＝－(3－y)．解得a＝－，y＝－1，选D.答案：D52金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆9．平行四边形顶点A，B，C所对应的复数分别为i,1,4＋2i(A，B，C，D按逆时针方向排列)．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆答案：(1)－1＋i(2)3＋2i(3)2＋3i(4)(3,3)(1)向量BA→对应的复数为____________；(2)向量BC→对应的复数为____________；(3)向量BD→对应的复数为____________；(4)点D坐标是____________．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆10．若|z－i|＝1，则z表示的图形是________________________________________________________________________．解析：设z＝x＋yi，则|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1，故z表示的图形为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．答案：以(0,1)为圆心，1为半径的圆金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆11．已知x，y∈R，且x＋y－30＋xyi和y－x＋60i互为共轭复数，则x＝________，y＝________.解析：由x＋y－30＝y－x且xy＝－60可得．答案：15－4金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆解析：向量OA→＋OB→对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA→＝OA→－OB→，∴向量BA→对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝－82＋－22＝217.12．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是OA→与OB→，其中O是原点，求向量OA→＋OB→，BA→对应的复数及A，B两点间的距离．金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆1．加法(减法)代数运算中，实部与实部相加(相减)，虚部与虚部相加(相减)，两个复数的和(差)仍然是一个复数．2．会利用复数加减法的几何意义解题：(1)z1＋z2的几何意义是以为邻边的平行四边形OZ1ZZ2的对角线所在向量；OZ1→，OZ2→OZ→金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆(2)z1－z2的几何意义是连接向量的终点，并指向被减数的向量所对应的复数；(3)复平面内两点间距离公式：d＝|z1－z2|(其中z1，z2是复平面内两点z1和z2所对应的复数，d为z1和z2的距离)．OZ1→，OZ2→Z2Z1→金品质•高追求我们让你更放心！返回◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆