3.2.1平面的法向量求法及简单应用

1.直线与平面垂直的定义2.平面的法向量：如果向量的基线与平面垂直，则向量叫平面的法向量。nn几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量与平面平行或在平面内，则有0nmnmA给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nnnl3.平面的向量表示：AMn0M因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，上节我们用直线的方向向量表示了空间直线、平面间的平行如何用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系呢？4.两平面平行或重合、垂直的充要条件l11n1e1111//ll或在内11110enen教材未提11l1n1111//enenl1e教材未提11n22n1212//或与重合1212//nnnn11n22n1212110nnnn已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量?在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的一个法向量为(,,z)nxy则nABnAC，.∵(3,4,0)AB,(3,0,2)AC∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.例：法向量的求法5.求平面法向量的方法：⑴设平面的法向量为(,,)nxyz⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)aabcbabc⑶根据法向量的定义建立关于,,xyz的方程组00nanb⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.待定系数法练习1：已知(2,2,1),(4,5,3),ABAC求平面ABC的单位法向量.122(333，，）或122(333，，）.解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC，.∴(,,)(2,2,1)0(,,)(4,5,3)0xyzxyz即2204530xyzxyz∴22yxzx①∵2221xyz②∴由①②得13x∴平面ABC的单位法向量为122(333，，）或122(333，，）.ABCDADEFNM,AEBD,11,33BMBDANAE，//MNCDE平面例如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且求证：ABCDEFxyzMN),0,2(caBMABNANM)0,3,0(bAD0NMAD由NMAD得到简证：因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，所以AB，AD，AF互相垂直。以为正交基底，建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a，3b，3c，ABADAF，，则可得各点坐标，从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE例.在正方体1111ABCDABCD中，求证：1DB是平面1ACD的一个法向量.证：设正方体棱长为1，以1,,DADCDD为单位正交基底，建立如图所示空间坐标系xyzD1(1,1,1)DB，(1,1,0)AC，1(1,0,1)AD10DBAC，所以1DBAC,同理11DBAD又因为1ADACA所以1DB平面ACD,从而1DB是平面1ACD的一个法向量.练习:⑴在正方体1111ABCDABCD中,EF、分别是1BBCD、的中点,求证:1DFADE平面A1D1C1B1ACBDFE证明:设正方体的棱长为1,1,,.DAiDCjDDk建立如图的空间直角坐标系11(1,0,0),(0,,1),2ADDF则11(1,0,0)(0,,1)0.2ADDF1.ADDF1(0,1,),2AE又111(0,1,)(0,,1)0.22AEDF1.AEDF又ADAE=A,1.DFADE平面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FADAEAD1另证可以用三垂线定理证D得证练习.在正方体1111ABCDABCD中,EF、分别是1BBCD、的中点,求证:1DFADE平面.OABCOBAC证明：由已知，ABCO0000OABC=,OBAC=OA(OCOB)=OB(OCOA)=所以OAOC=OAOBOBOC=OBOA所以000OAOCOBOC=(OAOB)OC=BAOC=所以OCAB所以OABCOABCOBACOCAB例、已知在空间四边形中，，，求证：小结1.直线与平面垂直的定义2.平面的法向量：3.平面的向量表示：4.两平面平行或重合、垂直的充要条件5.求平面法向量的方法：6.有关平面的斜线概念，三垂线定理及其逆定理P104巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交1、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.巩固性训练3////llllOACB()||||cos||||cos||||cos证明：因为OABCOAOCOBOAOCOAOBOAOCOAOBOAOB||||cos0OAOBOABC4、已知空间四边形，，，求证：OABCOBOCAOBAOCOABC1．如图，正方体中，E为的中点，证明：//平面AECDCBAABCDDDDBDABABCCDE练习:用空间向量来解决下列题目2、在正方体AC中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BBAD、DC、DD的中点，求证：⑴平面PQR∥平面EFG。⑵BD⊥平面EFGABCDABCDFQEGRP