3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程解析

3.2空间向量在立体几何中的应用书山有路勤为径，学海无崖苦作舟少小不学习，老来徒伤悲成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天才在于勤奋，努力才能成功！勤劳的孩子展望未来,但懒惰的孩子享受现在!!!什么也不问的人什么也学不到!!!普通高中课程标准数学2-1(选修)第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程概念概念1.位置向量已知空间内一点A，决定它的相对位置需再选一定点O(根据情况自己决定)，则向量称作点A的位置向量。OAaAOa如果O点(也可以称为基点)给定，我们就可以用不同的位置向量表示空间内的不同的点了。3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程这时点P的位置被完全确定，容易看到，当t在实数集R中取遍所有值时，点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之，在直线l上任取一点P，一定存在一个实数t，使向量方程①通常称作直线l的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.给定一个定点A和一个向量a，如图所示，再任给一个实数t,以A为起点作向量.taAP.taAPalAP①注:⑴向量方程两要素:定点A,方向向量⑵t为参数,且t是实数,.a反向和同向和aAPtaAPt00例位置关系是的与，则，，的方向向量为，直线，，的方向向量直线212211)202()101(llVlVlA.相交B.平行C.垂直D.不能确定课堂练习(1)两直线的方向向量分别为V1=(2,0,3),V2=(-3,0,2),则两直线的位置关系是什么？直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O(如图所示),点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式②如果在l上取则②式可化为即③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程..taOAOP,aAB)(OAOBtOAABtOAOPOBtOAtOP)1(AaOMBPlta注:⑴当t=时,.此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中点的向量表达式.⑵③中有共同的起点.⑶③中的系数之和为1.21OBOAOP2121OBOAOP、、OBOA、例1已知点A(2,4,0),B(1,3,3),以的方向为正方向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件:⑴AP:PB=1:2⑵AQ:QB=-2求点P和点Q的坐标.AB,1)311,35(,1,311,35,),3,3,1(31)0,4,2(32z)y,(x,,z),y,(x,.3132),(2,2,)1(:的坐标是点因此所以得则上式换用坐标表示坐标为设点即得由已知解PzyxPOBOAOPOAOPOPOBAPPBAQBPyzxlO例1(0,2,6).,6,2,0)6,2,0()3,3,1(2)0,4,2(2),,(),,,(,2),(2,2AQ,2:)2(的坐标是点因此即得则上式换用坐标表示，的坐标为设点所以因为QzyxzyxzyxQOBOAOQOQOBOAOQQBQBAQ小结直线的向量参数方程.,)1(,,,,)2(.,.)1(如图即方程又可写为则直线向量使上取两点若在直线件是上的充要条在直线如图，点对于空间任一点的方程为：的直线，方向向量为过点OBtOAtOPABtOAOPaABBAltaOAOPlPOtaAPlaAaOMBPlta课堂练习三点是否共线？则CBAOCOBOA,,,32.,,2)(223:三点共线所以即解CBABCCAOBOCOCOBCOOA1-2321-3ABAB例1：已知两点（，，），（，，），求，连线与三坐标平面的交点。51710,,0)3344（，，），(110AByozCyz分析：设连线与平面的交点为（，，），1OCtOAtOB由（）得111101(1,-2,3)(2,1,-3)0(1-233-6yzttyzttt（，，）（）（，，），，）59OC（0，，）.)6(.)5().(21,21)4(.1)3(点共线判断点的位置，判定三用直线的向量参数方程两直线的位置关系用直线的方向向量判断即的中点，则是线段点中点的向量表达式：设且上的充要条件为在直线点OBOAOMABAMABMyxOByOAxOPABP小结在《数学2——立体几何初步》中我们学习了空间里的平行关系，即线线平行、线面平行和面面平行。请同学们回忆一下它们的定义、判定定理和性质定理。三、概念概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行公理4：在空间，平行于同一条直线的两条直线平行。线面平行的判定定理：平面外的一条直线如果和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行。面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交的直线平行于另一个平面，则这两个平面平行。在空间，我们怎样用向量的方法证明这些平行关系呢？三、概念概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行1.用向量的方法证明线线平行设直线和的方向向量分别为和，则1l2l12121212////llll或与重合1l2l12121212//llll或与重合也可写成设两个不共线向量和与平面共面，直线的一个方向向量为，则三、概念概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行2.用向量的方法证明线面平行l12112//,,llxyRxy或使l12推论：如果A,B,C三点不共线，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x,y使得成立。AMxAByAC三、概念形成概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行3.用向量的方法证明面面平行12//////或与重合且12设两个不共线向量和与平面共面，则12三、概念概念3.用向量证明直线与直线平行、直线与平面平行，平面与平面平行例：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是面对角线A1B与面对角线A1C1的中点。(1)求证：MN//AD1且；(2)求证：MN//侧面AD1。ABCDA1B1C1D1112MNADMN向量证法如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是面对角线A1B与面对角线A1C1的中点。(1)求证：MN//AD1且；(2)求证：MN//侧面AD1。112MNADABCDA1B1C1D1MNxyz(1)证明：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为1，则11111(0,,1),(0,0,0),(0,1,1)2222MNAD，，),（111(0,,),(0,1,1)22MNAD112MNAD1//MNAD111//,2MNADMNAD几何证法向量证法几何证法如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是面对角线A1B与面对角线A1C1的中点。(1)求证：MN//AD1且；(2)求证：MN//侧面AD1。112MNADABCDA1B1C1D1MN(1)证明：连接BC1，因为M，N分别是面对角线A1B和A1C1的中点，所以，MN是⊿A1BC1的中位线111//,2MNBCMNBC又正方体中C1D1//AB且C1D1=AB，所以ABC1D1为平行四边形。1111//,ADBCADBC从而MN//AD1且112MNAD三、概念形成概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角我们用向量的方法也可以求空间两条直线的夹角和证明空间两条直线垂直(当夹角为90°时)设直线和的方向向量分别为和，则1l2l121212120ll2l121l设两条直线所成角为θ，则12cos|cos,|211l2l•再见三、概念形成概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角例子：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是B1B与CA1的中点。求证：MN⊥BB1；MN⊥A1C。ABCDA1B1C1D1向量证法如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点M，N分别是B1B与CA1的中点。求证：MN⊥BB1；MN⊥A1C。ABCDA1B1C1D1MN(1)证明：建立如图所示坐标系，设正方体棱长为1，则111111(10,,),(1,0,0),(1,0,1),(0,0,1),(1,1,0)2222MNBBAC，，),（111(,,0),(0,0,1)22MNBB111(,,0)(0,0,1)022MNBB111(,,0)(1,1,1)022MNACxyz1(1,1,1)AC所以MN⊥BB1；MN⊥A1C。MN三、概念形成概念4.用向量证明两条直线垂直或求两条直线所称的角例子：已知三棱锥O-ABC(如图)，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC所成角的余弦。OABCMN向量解法解：设，直线MN与AC所成角为θ，则,,OAaOBbOCc111()()222MNONOMbcabca已知三棱锥O-ABC(如图),OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M，N分别是棱OA，BC的中点，求异面直线MN与AC所成角的余弦。OABCMNACca222222221||()41(||||||222)4145(45315200)44MNMNMNbcaabcbcabac222222||()||||2)(430)25ACACACcaacac四、应用举例例1.平行六面体中，O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC1。1111ABCDABCD向量解法解：设，因为B1BCC1为平行四边形11111,,CBaCDbCCc1BCcaABCDA1B1D1C1O例1.平行六面体中，O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC1。1111ABCDABCDabc又因为O是B1D1中点，111(),2COabCDbc下面证明存在实数x,y使得111BCxCOyCD当时有111BCxCOyCD1()()2caxabybc11()22xaxybycABCDA1B1D1C1O立体几何中平行与垂直的位置关系的证明题，应用向量运算的方法，虽然证明过程书写较长，但因不添加辅助线而减少了思考时间。六、课堂总结2.用空间向量证明空间的平行关系；1.用向量表示空间直线或点在直线上的位置；3.用空间向量证明空间的垂直关系及异面直线所称的角；4.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。例2MCyMBxMA已知空间中四点M,A,B,C,满足,x,y是实数,且x+y=1.求证:A,B,C三点共线证明:三点共线所以即即所以因为CBACBxCAMCMBxMCMAMCMCMBxMCxMBxMAxyyx,,)()()1(1,1要证明直线与平面平行，应用向量方法：①只要证明该直线的方向向量与平面内的两不共线的向量共面，即可利用共面向量定理证明；②只要证明该直线的方向向量与平面内某一向量共线，即可利用平行定理．四、应用举例例2.如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，∠PDA=θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由。例2.如图所示，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，∠PDA=θ，能否确定θ，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由。DABCPNMθ解：假设这样的θ存在，以点A为原点建立空间直角坐标系Axyz向量解法设则||2,||2,ADaABbPDA因