3.2.1立体几何中的向量方法(一)

。＋＝，使，实数对共面的充要条件是存在与向量不共线，则向量如果两个向量byaxpyx,p,baba共线向量定理:复习：共面向量定理:0//aabbabb对空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数，使＝。思考1：1、如何确定一个点在空间的位置？2、在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3、给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？OPOPOPP空间中，取一定点作为基点，空间中任意一点的位置就可以用向量来表示。向量称为点的位置向量。OP一、点的位置向量aABP二、直线的向量参数方程对于直线l上的任一点P,存在实数t使得APtAB此方程称为直线的向量参数方程。这样点A和向量不仅可以确定直线l的位置，还可以具体写出l上的任意一点。a空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A及一个定方向确定.lPbaOOPxayb空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点P,存在有序实数对(,)xy,使得除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.n这样，点O与向量不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点。ab、三、平面的法向量A平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，如果⊥，那么向量叫做平面的法向量.nnnn给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.nn注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有0nmnmnl问题：如何求平面的法向量？),,()1(zyxn设出平面的法向量为111222(2)(,,),(,,)aabcbabc找出平面内的两个不共线的向量的坐标00,,)3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4((2,2,1),(4,5,3),ABACABC例2：已知求平面的单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz则，（，，），（，，）220,4530xyzxyz即1121xzy取，得1(,1,1),2n3||2n122(-333ABC求平面的单位法向量为，，）因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？思考2：lmabml//baba//lua//l0uauauv//vuvu//lambml0babaluuaua//lauv0vuvulamb，的夹角为ml,||||||cosbabalambula，的夹角为,l||cos()2||||auauulauv，的夹角为,cos-||||uvuv（）uv，的夹角为,cos||||uvuv设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则l∥ma∥bakb；线面平行∥u∥v.ukv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.线线平行l∥au0au；面面平行四、平行关系：111222(,,),(,,),laabcuabc设直线的方向向量为平面的法向量为则121212//00;lauaabbcc设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则线线垂直线面垂直⊥u⊥v.0vul⊥ma⊥b0ab；l⊥a∥uaku；面面垂直五、垂直关系：111222222,,0,//abcabcauabc当时111222(,,),(,,),aabcuabc若则121212//,,.lauakuakabkbckc巩固性训练11.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.ba,)3,0,0(),1,0,0()3()2,3,2(),2,2,1()2()6,3,6(),2,1,2()1(bababa平行垂直平行巩固性训练21.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交巩固性训练31、设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若，则k=；若则k=。2、已知，且的方向向量为(2,m,1)，平面的法向量为(1,1/2,2),则m=.3、若的方向向量为(2,1,m),平面的法向量为(1,1/2,2),且，则m=.////llll例3、用向量法证明：一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知：直线m，n是平面内的任意两条相交直线，且,.lmln求证：.l,,,,.lmnabc解：设直线的方向向量分别为,,,0.lmlnabab0.ac同理,,,mnmn且相交，p内任一向量可以表示为如下形式：,,.pxbycxyR()0,apaxbycxabyac.ll与内的任一直线垂直.即设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则两直线l,m所成的角为(02≤≤),cosabab；直线l与平面所成的角为(02≤≤),sinauau；二面角─l─的大小为(0≤≤),cos.uvuv以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.六、夹角：