椭圆经典练习题

椭圆及其性质1.方程122nymx表示椭圆m0，n0，且m≠n；2a是m，n中之较大者，焦点的位置也取决于m，n的大小。[举例]椭圆1422myx的离心率为21，则m=解析：方程中4和m哪个大哪个就是2a，因此要讨论；（ⅰ）若0m4,则,42amb2，∴mc4，∴e=24m=21，得m=3；（ⅱ）m4,则,42bma2，∴4mc，∴e=mm4=21，得m=316；综上：m=3或m=316。[巩固]若方程：x2+ay2=a2表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是A1个B.2个C.4个D.无数个2．椭圆12222byax关于x轴、y轴、原点对称；P(x,y)是椭圆上一点，则|x|≤a,|y|≤b，a-c≤|PF|≤a+c，（其中F是椭圆的一个焦点），椭圆的焦点到短轴端点的距离为a，椭圆的焦准距为cb2，椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2ab2，通经是过焦点最短的弦。[举例1]已知椭圆12222byax（a0,b0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若BF⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为。解析：|AB|2=a2+b2，|BF|=a，|FA|=a+c，在Rt⊿ABF中，(a+c)2=a2+b2+a2化简得：c2+ac-a2=0，等式两边同除以a2得：012ee，解得：e=215。注：关于a,b，c的齐次方程是“孕育”离心率的温床。[举例2]已知椭圆12222byax（a0,b0）的离心率为53，若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转2后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为y=316，则原来椭圆的方程是。解析：原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线y=316为新椭圆的上准线，故新椭圆的焦准距为316，∴原来椭圆的焦准距也为316，于是有：cb2=316①，ac=53②，由①②解得：a=5，b=3。[巩固1]一椭圆的四个顶点为A1，A2，B1，B2，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的椭圆的离心率为。[巩固2]在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)2(B)22(C)21(D)42[迁移]椭圆13422yx上有n个不同的点P1，P2，P3，…，Pn，椭圆的右焦点F，数列{|PnF|}是公差大于1001的等差数列，则n的最大值为（）A．198B．199C．200D．2013.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。[举例1]已知⊙Q：(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切，则M点的轨迹方程是：。解析：P(-1,0)在⊙Q内，故⊙M与⊙Q内切，记：M(x,y)，⊙M的半径是为r，则：|MQ|=4-r，又⊙M过点P，∴|MP|=r，于是有：|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q为焦点（c=1）的椭圆，a=2。[举例2]若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=522)2()1(yx，则P点的轨迹是：A．圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解析：等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍；为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以5，于是有：5|32|yx=522)2()1(yx，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了，只需将方程再变形为：555|32|)2()1(22yxyx，即动点P（x,y）到定点A（1，2）与到定直线x+2y-3=0的距离之比为55，∴其轨迹为椭圆。[巩固1]已知圆QAyxC),0,1(25)1(:22及点为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为.[巩固2]设x、y∈R，在直角坐标平面内，a=(x,y+2),b=(x,y-2),且|a|+|b|=8，则点M(x,y)的轨迹方程为。[提高]已知A（0，7），B（O，-7），C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为。[迁移]P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F1（-1，0）、F2（1，0），则椭圆过P点且长轴最短时的方程为。4．研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时，往往用定义；会推导并记住椭圆的焦半径公式。[举例1]如图把椭圆2212516xy的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P,2P,……7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则127......PFPFPF____________．解析：P1与P7，P2与P6，P3与P5关于y轴对称，P4在y轴上，记椭圆的另一个焦点为F/，则|P7F|=|P1F/|，|P6F|=|P2F/|，|P5F|=|P3F/|，K]于是127......PFPFPF|P1F|+|P1F/|+|P2F|+|P2F/|+|P3F|+|P3F/|+|P4F|=7a=35.[举例2]已知A、B是椭圆19252222ayax上的两点，F2是椭圆的右焦点，如果,58||||22aBFAFAB的中点到椭圆左准线距离为23，则椭圆的方程.解析：aBFAF58||||22||2||211BFaAFa=a58|||11BFAF=a512，记AB的中点为M，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A1、B1，M1，由椭圆第二定义知：|AF1|=e|AA1|，|BF1|=e|BB1|，于是有：e（|AA1|+|BB1|）=a512，而e=54[∴|AA1|+|BB1|=3a2|MM1|=3a，又|MM1|=23，得a=1，故椭圆方程为192522yx。[巩固1]椭圆的两焦点为F1，F2，以F1F2为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆的离心率为。[巩固2]已知F1、F2是椭圆459522yx的左右焦点，点P是此椭圆上的一个动点，)1,1(A为一个定点，则1PFPA的最大值为，223PFPA的最小值为。[提高]过椭圆左焦点F且斜率为3的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率e=_____5．研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，常用椭圆定义及正、余弦定理。[举例]已知焦点在x轴上的椭圆),0(,14222bbyxF1,F2是它的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得021PFPF，则b的取值范围是。解析：思路一：先证一个结论：若B为椭圆短轴端点，则∠F1PF2≤∠F1BF2。记∠F1PF2=,|PF1|=r1,|PF2|=r2,cos=212222124rrcrr=21221221242)(rrcrrrr=12442122rrca又21rr≤(221rr)2=2a,∴cos≥222224acaa=cos∠F1BF2,当且仅当r1=r2时等号成立，即∠F1PF2≤∠F1BF2。题中椭圆上存在点P，使得∠F1PF2=900，当且仅当∠F1BF2≥900，即cos∠F1BO≤22b≤22a=2,∴b∈(0,2].思路二：用勾股定理：r1+r2=2a①r12+r22=4c2②,由①②得：2r1r2=4b2,又2r1r2≤r12+r22∴b2≤c2=4-b2即b∈(0,2].思路三：用向量的坐标运算：记P(x0,y0),1PF=(-c-x0,-y0),2PF=(c-x0,-y0),1PF2PF=c2-x02+y02=0(b2+4)x02=4(c2-b2),注意到：0≤x02≤4，∴0≤4(c2-b2)≤4(b2+4)即0≤4-2b2≤b2+4，得b∈(0,2].[巩固1]椭圆14922yx的焦点为1F、2F，点P为其上的动点，当21PFF为钝角时，点P横坐标的取值范围是________。[巩固2]已知P是椭圆14522yx上一点，F1和F2是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2的面积为（）A．334B．)32(4C．)32(4D．46．椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时，可以减少一个变量，或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了，而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系；如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。[举例]若动点（yx,）在曲线)0(14222bbyx上变化，则yx22的最大值为（）A．)4(2),40(442bbbbB．)2(2),20(442bbbbC．442bD．2b解析：本题可以直接借助于椭圆方程把x2用y表示，从而得到一个关于y的二次函数，再配方求最值；这里用椭圆的参数方程求解：记x=2cos,y=bsin,yx22=4cos2+2bsin=f(),f()=-4sin2+2bsin+4=-4(sin-4b)2+442b,sin∈[-1,1][若04b≤10b≤4，则当sin=4b时f()取得最大值442b；若4b1b4,则当sin=1时f()取得最大值2b，故选A[巩固]椭圆14922yx上的点到直线2x-3y+33=0距离的最大值是_____________。答案1．[巩固]B，2、[巩固1]215，[巩固2]B，[迁移]C，3、[巩固1]121425422yx，[巩固2]1161222yx，[提高])0(,14822yxy，[迁移]1325222xx，4、[巩固1]e=3-1，[巩固2]6+2，27，[提高]32；5、[巩固1]553553x，[巩固2]B；6、[巩固]21