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点的两面投影V面投影，标记为a′，称为正面投影A(空间点)与OX轴交于axH面投影，标记为a，称为正面投影分析：OX⊥Aa，H、V投影平面展开连线得aa′⊥OXAa′=aax，a′ax=Aa垂直投影直线的投影一般位置直线(∠投影面，不反映实长)投影面平行线(∥投影面，反映实长)投影面垂直线(⊥投影面，积聚为一点)直线的投影一般仍为直线(特殊为点)2，直线的投影特性直线的投影可由连接线段两个端点的同面投影来确定直线的投影有类似性、真实性、积聚性等三个特性特殊位置直线1，直线的分类直线上的点(线上找点)1，从属性：点在线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上。反之，点的各个投影在线的同面投影上，则该点一定在直线上。利用这一特性可在线上找点或判断已知点是否在线上2，定比性：点分线段长度比等于其投影分线段投影长度之比。(定比定则AC:BC=ac:bc=a′c′:b′c′=ac:bc)利用这一特性在不作出侧面投影的情况下，在线上找点或判断已知点是否在线上五，两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交(亦称共面直线)、交叉(亦称异面直线)1，两直线平行若空间两直线平行，则三个面同面投影必定互相平行。如下图所示。反之，若直线同面投影都(三面)互相平行，则两直线在空间必定互相平行，且两线段的长度比等于其投影比注意：1，对于一般位置直线，有两组同面投影相互平行，即可判断空间两直线相互平行2，若直线为投影面的平行线，则要根据直线所平行的投影面上的投影是否平行来断定它们在空间是否平行(即画出第三面投影来判断)例题四判断两侧平线AB、CD的相对位置方法一作出AB、CD的W面投影，若ab∥cd，则AB∥CD；反之，则AB和CD交叉。按左图结果可判断AB∥CD方法二1，分析：分别连接A和D、B和C，若AD、BC相交，则A、B、C、D四点共面，故AB∥CD；反之，若AD、BC交叉，则A、B、C、D四点不共面，则AB和CD交叉2，作图：连接a′d′、b′c′得交点k′，连接ad，bc得交点k，因kk′⊥OX，则AD、BC相交，故AB∥CD方法三定比定则1，分析：如两侧平线为平行两直线，则两直线的各同面投影长度比相等，但须注意，仅仅各同面长度比相等，还不能说明两直线一定平行，因为与V面、H面成相同倾角的侧平线可以有两个方向，它们能得到同样比例的投影长度，所以还必须检验两直线是否同方向2，作图：从投影图上可以看出AB、CD两直线是同方向的。在a′b′上取点1，使a′1=c′d′，过a做任意辅助线，并在该辅助线上取点2，使a′2=cd，取点3使a′3=ab，连接21和3b′，因为21∥3b′所以有ab:cd=a′b′:c′d′，则AB∥CD例题五判断两侧平线AB、CD的相对位置AB、CD交叉2，相交两直线空间两直线若相交，它们的同面投影必定相交，且交点必定符合点的投影规律注意：(1)对两一般位置线，若两组同面投影都相交，且两投影焦点符合点的投影规律，则空间两直线相交(2)若两直线有一直线为投影面平行面时，则两组同面投影中必须包括直线所平行的投影面上的投影(即画出第三面投影判断)3，交叉两直线既不平行又不相交的两直线称为交叉两直线(1)交叉两直线在同一投影面上的交点为对该投影面的一对重影点，可从另一投影中用前遮后、上遮下、左遮右的原则来判别他们的可见性(2)交叉两直线的投影可能会有一组或两组是互相平行的，但决不会三组同面投影都互相平行(2)交叉两直线的投影也可能是相交的，但各个投影的交点一定不符合同一点的投影规律四，一边平行于投影面的直角的投影(直角投影定理)空间垂直相交的两直线，若其中一直线为投影面平行线，则两直线在该投影面上的投影互相垂直，也称为直角投影定理反之，相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直，若其中有一直线为该投影面的平行线，则这两直线是空间互相垂直的两直线此投影特性也适用于交叉垂直的两直线。如下图当BC直线不动，水平线AB平行上移时，ab与bc仍互相垂直例题六求AB、CD两直线的公垂线(1)分析：直线AB是铅垂线，CD是一般位置直线，所以它们的公垂线是一条水平线，公垂线的水平投影必垂直于cd(直角投影定理)，侧面投影平行OX轴(2)作图：由直线AB的水平投影ab向cd作垂线交于k，由此求出k′。由k′向a′b′作垂线交于e′，ek和e′k′即为公垂线EK的两投影，且ek=EK，为两交叉直线AB、CD的距离第四节平面的投影一，平面的表示法1，用几何元素表示平面由初等几何学可知，下列几何元素组都可以决定平面在空间的位置(a)不在同一直线上的三点(b)一直线和该直线外一点(c)相交两直线(d)平行两直线(e)任意平面图形(五种可相互转化)2，用迹线表示平面迹线即平面与投影面的交线平面P与H面的交线称为水平迹线，以PH表示；与V面的交线称为正面迹线，以PV表示；与W面的交线称为侧面迹线，以PW表示。由于迹线在投影面上，因此迹线在此投影面上的投影必定与其本身重合，并用迹线符号标记，即在投影图上直接用PV标记正面迹线的正面投影；用PH标记水平迹线的水平投影；用PW标记侧面迹线的侧面投影。该迹线的另两个投影与相应的投影轴重合，一般不再标记二，平面对投影面的各种相对位置分类投影面垂直面(⊥一投影面，∠另两投影面)特殊位置平面投影面平行面(∥一投影面，⊥另两投影面)一般位置平面(∠三个投影面)约定：平面与投影面H、V、W的两面角，分别用α、β、γ表示1，投影面垂直面(⊥一投影面，∠另两投影面)铅垂面(⊥H面，∠V、W面)分类正垂面(⊥V面，∠H、W面)侧垂面(⊥W面，∠H、V面)以铅垂面为例分析其投影特性为(1)投影面上的投影，积聚为直线(积聚性)(2)在另外两投影面上的投影均为类似形(类似性)注意：类似性的投影特性(1)边数不变，各顶点符合投影规律(2)原来边平行，仍平行；成比例，仍成比例(3)直线边对应直线边，曲线边对应曲线边铅垂面投影图正垂面投影图侧垂面投影图投影面垂直面的迹线表示法(只表达有积聚性的投影)2，投影面平行面(∥一投影面，⊥另两投影面)水平面(∥H面，⊥V、W面)分类正平面(∥V面，⊥H、W面)侧平面(∥W面，⊥H、V面)以水平面为例分析其投影特性为(1)在平行的投影面上的投影，反映实形(实形性)(2)在另外两投影面上的投影，积聚成直线，分别平行于相应的投影轴(积聚性)水平面投影图正平面投影图侧平面投影图投影面水平面的轨迹表示法(只表达有积聚性的投影)注意：(1)直角投影定则用途大，图解法可求出距离，要灵活运用(2)图解法归纳：定比定则、直角三角形法、直角投影定则要会综合应用(3)特殊位置面投影特性要记牢3，一般位置平面一般位置平面的三个投影△abc、△a′b′c′、△abc均为类似形其投影特性：三个投影均是类似形，而且面积比实际小；投影图上不直接反映平面对投影面的倾角面的投影不是积聚为一直线，就是一类似形或实形三，平面上取点和线1，几何条件(1)若点位于面内直线上，则点在该面内(2)直线过平面上两点，线必在该平面内(3)线过面上一点且平行面内另一直线，则线在该面内2，求取方法(1)求点，先找线(2)作线，先找点3，求面上线(要熟记)(1)一般位置面上作水平线(用水平面与ABC相交，交线无数条)(条件：过C点作水平线属于ABC)(2)一般位置面上作正平线(用正平面与ABC相交，交线无数条)(条件：作正平线距V面25mm)例题六判别点M是否在面△ABC内，并做出△ABC面上点N的正投影(1)分析：判别点是否在面上和求平面上点的投影，利用点在面上、点必在面内一条线上这一投影特性(2)作图注意：判断点是否在面内，不能只看点的投影是否在面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影特性来判断例题七已知△ABC平面的两面投影，作出水平面上水平线AD和正平线CE的两面投影(1)分析：由于水平线的正面投影平行于OX轴，故可先求AD的正面投影，而正平线的水平投影平行于OX轴，故可先求CE的水平投影(2)作图例题八完成平面图形ABCDE的正平投影(1)分析：已知A、B、C三点的正投影和水平投影，面的空间位置已确定，D、E两点应在△ABC面上，故可利用点在面上的原理作出点的投影(2)作图+第五节直线、平面的相对位置+2-4，2-5