高一数学必修1(北师大版)第2章归纳总结

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1成才之路·数学·北师大版·必修1第二章函数第二章函数本章归纳总结第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1知识结构方法警示探究即时巩固专题探究知识梳理第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1知识结构第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1知识梳理第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终，配方法、换元法、待定系数法等基本方法，特殊化思想、分类讨论思想、数形结合等数学思想在本章中有较大应用，通过学习幂函数、二次函数，体会函数思想在数学和其他学科中的重要性，因此说函数是中学数学的一条主线，是中学数学的重要内容，是学习数学其他知识和分支的基础．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修11．函数的概念函数的实质是两个非空数集之间的一种特殊映射．学习时要注意体会用函数的思想解方程、不等式，要善于总结归纳求函数的定义域、值域的常见题型及相应的求解思路．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修12．函数的图像函数的图像可以形象地揭示函数的有关性质．在考试题中主要考查基本初等函数的图像特征及函数的图像变换．要学会利用函数的图像来解题，若题目中已给出图像，应注意深入挖掘图像中所反映出的有助于解题的明显信息和隐含信息；若题目中未给出图像，应有意识地画出函数的草图．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修13．函数的性质函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性，这是考试考查的重点中的重点，与此相关的综合题，不仅局限于函数本身的综合，还可以是与不等式的交叉综合，但归根结底都要利用函数的性质来进行解题．4．二次函数熟练掌握二次函数的三种表示方式：(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－k)2＋h(a≠0)；(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1二次函数与二次方程密切联系，在解决二次函数的有关问题，特别是含参数的二次方程的有关问题时，通常借助于二次函数的图像特征(如单调区间、与坐标轴的交点、对称轴的位置、最值等)．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1专题探究第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1函数的定义域[例1](1)求函数y＝x2－3x－4|x＋1|－2的定义域．(2)已知y＝f(1－2x)的定义域是[－1,2]，求函数y＝f(x)的定义域．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)要使函数有意义，当且仅当x2－3x－4≥0|x＋1|－2≠0，即x≤－1或x≥4x∉{1，－3}，所以函数的定义域是(－∞，－3)∪(－3，－1]∪[4，＋∞)．(2)因为f(1－2t)的定义域是[－1,2]，所以－1≤t≤2，即－3≤1－2t≤3，因为对于函数f(x)的自变量x＝1－2t∈[－3,3]，所以函数y＝f(x)的定义域是[－3,3]．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结](1)解|x＋1|－2≠0得x≠1，x≠－3，如果写成“x≠1或x≠－3”，这是错误的；应写成“x≠1且x≠－3”．这是一个重要的逻辑思维问题，不要用错逻辑联结词“或”、“且”．写成上面的x∉{1，－3}是很好的方法．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)题中，首先要弄清f(1－2x)和f(x)是两个不同的函数；因为它们的自变量都表示为x，为了防止混淆，把已知函数f(1－2x)改写为f(1－2t)，这样函数f(1－2t)的自变量为t∈[－1,2]．所求函数f(x)的自变量为x，再由x＝1－2t，t∈[－1,2]，求得x∈[－3,3]，即得f(x)的定义域．函数y＝f(1－2t)是函数y＝f(x)和函数x＝1－2t的“复合”．中学所遇到的“抽象函数问题”就是这种复合函数的问题．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,3]，求函数f(x2－1)的定义域．(2)已知函数f(x2－1)的定义域为[－1,3]，求f(1－3x)的定义域．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)因为f(x)的定义域为[－1,3]，所以－1≤x2－1≤3，所以0≤x2≤4，所以－2≤x≤2，所以f(x2－1)的定义域为[－2,2]．(2)因为f(x2－1)的定义域为[－1,3]，所以－1≤x≤3，所以0≤x2≤9，所以－1≤x2－1≤8，所以－1≤1－3x≤8，－2≤－3x≤7，所以－73≤x≤23，所以f(1－3x)的定义域为－73，23.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结](1)函数定义域是函数中x的取值范围；(2)已知y＝f(x)定义域为D，求y＝f[g(x)]定义域，即由g(x)∈D求x范围；已知y＝f[g(x)]的定义域为D，求y＝f(x)定义域，即由x∈D，求g(x)的值域，它也是y＝f(x)中x的范围.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1函数值域的求法[例2]求下列函数的值域：(1)y＝2－|x|；(2)y＝－2x＋1，x0，0，x＝0，－3x2，x0.(3)y＝3＋2x－x2.[分析](1)中|x|≥0；(2)的形式称为分段函数，分别求各段的值域；(3)中，将二次函数配成y＝a(x＋h)2＋k的形式，画出图像，结合图像确定函数的值域．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)∵|x|≥0，∴2－|x|≤2.∴函数y＝2－|x|的值域为(－∞，2]．(2)①当x0时，－2x＋11，即y1.②当x＝0时，y＝0.③当x0时，－3x20，即y0.∴原函数的值域为(－∞，0]∪(1，＋∞)．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(3)∵3＋2x－x2≥0，即－1≤x≤3，设y1＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4.如图所示，当y1≥0，即－1≤x≤3时，函数有意义．∴函数y1＝3＋2x－x2，x∈[－1,3]的值域为[0,4]，则原函数的值域为[0,2]．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结]分段函数求各段值域，再求并集得函数值域，而(3)中用了配方法．配方法是求函数值域最常用和最基本的方法．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1求下列函数的值域：(1)y＝3－x2x＋5(x≥0)；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝1－2x＋x.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)y＝－12＋1122x＋5.∵x≥0，∴2x＋5≥5.∴012x＋5≤15.∴－12y≤35.∴原函数的值域为(－12，35]．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)y＝x2－xx2－x＋1＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1，∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤1－1x2－x＋11，∴原函数的值域为[－13，1)．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(3)令t＝1－2x(t≥0)，则x＝1－t22.∴y＝1－2x＋x＝t＋1－t22＝－12(t－1)2＋1(t≥0)，∴函数的值域为(－∞，1]．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结](1)(2)用了分离常数法，(3)用了换元法，若(3)改为y＝1＋2x＋x，还可以利用函数是[－12，＋∞)上的增函数求出函数值域，同时我们还可以结合图像用图像法求值域等.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1函数的图像与变换[例3]作出下列函数的图像：(1)y＝2－xx－1；(2)y＝|x2－2x|；(3)y＝x2－2|x|.[分析](1)利用函数y＝kx(k≠0)的图像作平移变换．(2)先作函数y＝x2－2x的图像，再作x轴下方关于x轴对称的图像．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(3)先作y＝x2－2x的y轴右侧的图像，再作关于y轴对称的图像．[解析](1)原函数y＝2－xx－1＝－x－2x－1＝－x－1－1x－1＝－1＋1x－1，因此，先作函数y＝1x的图像，再将其向右、向下各平移1个单位，得函数y＝2－xx－1的图像，如图所示．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)先作函数y＝x2－2x的位于x轴上方的图像，再作x轴下方图像关于x轴对称的图像，得函数y＝|x2－2x|的图像，如图所示．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(3)先作函数y＝x2－2x位于y轴右边的图像，再作关于y轴对称的图像，得到函数y＝x2－2|x|的图像，如图所示．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[方法总结]数形结合是本章最重要的数学思想方法．通过画出函数的图像，使我们所要研究的问题更加清晰，有助于我们提高解题的速度和正确率．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1关于x的方程|x2－2x－3|＝a有三个不同实根，求a的值．[解析]设y＝|x2－2x－3|，y＝a，在同一坐标系中作出函数y＝|x2－2x－3|与y＝a的图像，如图所示．由图像可知，当a＝4时，方程|x2－2x－3|＝a有三个不同实根.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1函数的性质[例4]已知函数f(x)＝ax2＋23x＋b是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[解析](1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴ax2＋2－3x＋b＝－ax2＋23x＋b＝ax2＋2－3x－b，因此b＝－b，即b＝0.又f(2)＝53，∴4a＋26＝53，∴a＝2.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)由(1)知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x，f(x)在(－∞，－1]上为增函数，证明：设x1x2≤－1，则Δx＝x2－x10，Δy＝f(x2)－f(x1)＝23(x2－x1)(1－1x1x2)＝23(x2－x1)·x1x2－1x1x2.∵x1x2≤－1，∴x2－x10，x1x21，Δy0，∴f(x)在(－∞，－1]上为增函数．第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)0.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1[分析](1)要求f(x)的解析式，只须确定a，b的值，注意到在(－1,1)上f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0，通过解方程组求得a，b.(2)借助于函数的单调性，将函数值的大小关系，转化为自变量的大小关系，解不等式即可．[解析](1)因为f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(0)＝0.由f0＝0，f12＝25，即b＝0，a＝1.所以f(x)＝x1＋x2.第二章·本章归纳总结成才之路·数学·北师大版·必修1(2)任取－1x1x21，则f(x1)－f(x2)＝x11＋x21－x21＋x22＝x1－x21－x1x21＋x211＋x22.∵－1x1x21，∴x1－x20,1＋x210,1＋x220.又－1x1x21