机械振动基础.

1机械振动基础主讲：姜芳电话：62338144-118邮箱：[e-mail]机械振动基础2图示机构(13-16.swf)，物块质量为m，用不计质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度系数为k，质量不计。滑轮的半径为R，转动惯量为J。不计轴承摩擦。试建立:系统的运动微分方程。例12-11§12-4功率·功率方程·机械效率ddt解：设弹簧由自然位置(原长)伸长任一长度s。滑轮，物块，ssR则有：d,dsPmgt重力v221122TmvJ§12-4功率、功率方程、机械效率ddsPkst性力-弹ssmgvddsvt其中，1ddsRt221d2dJsTmtRF0lddTPPt重力弹性力代入功率方程，222ddddddddJssmtRtssmgkstt即222ddJsmksmgRt整理，得相对于坐标s的运动微分方程为：§12-4功率、功率方程、机械效率系统自由振动微分方程vssmgvF0lFvss平衡位置以平衡位置为参考点，物体下降x时弹簧的伸长量为：0sx令系统平衡时弹簧的伸长量为，0则。0mgk222d0dJxmkxRt即系统自由振动微分方程mg0x00lx222ddJsmksmgRt对坐标s的运动微分方程：代入上述方程中，得2220ddJxmRtmgkkx6222ddJsmksmgRt（1）相对于弹簧原长伸长s，系统的运动微分方程为：§13-4功率、功率方程、机械效率（2）相对于系统平衡状态伸长x，系统的运动微分方程为：222d0dJxmkxRtFvssmg平衡位置0x00lx√705101520-5-4-3-2-1012345时间振幅小阻尼振动曲线8主要内容1、机械振动概述；2、单自由度系统的无阻尼自由振动；3、单自由度系统的有阻尼自由振动。机械振动基础9第一节机械振动概述机械振动基础101.1机械振动概述振动是是自然界中常见的现象！1.1机械振动概述•心脏的搏动、耳膜和声带的振动等•汽车、火车、飞机及机械设备的振动•家用电器、钟表的振动•地震以及声、电、磁、光的波动等•股市的升跌和振荡等11振动的严格定义：围绕某一固定位置来回往复运动，并随时间变化的运动。机械振动：力学量随时间的变化来回往复地运动。振动？机械振动？1.1机械振动概述12运载工具的振动；噪声；机械设备以及结构的破坏；地震；降低机器及仪表的精度。振动的灾害13琴弦振动；振动的利用振动沉桩、振动拔桩以及振动捣固等;振动压路机;振动成型机、给料机等。1.2振动系统振动系统:可以产生机械振动的力学系统。任何具有弹性和惯性的力学系统均可以产生机械振动。振动系统的三要素:激励、系统和响应1.2振动系统系统激励输入响应输出15振动系统激励（输入）响应（输出）√已知：外界激励和系统参数，1．响应分析√?1.3振动系统的三类问题求：系统的响应。位移、速度、加速度等1.2振动系统162．系统设计和系统辨识系统已经存在，需要根据测量获得的激励和响应识别系统参数，以便更好地研究系统的特性.系统尚不存在，需要设计合理的系统参数，使系统在已知激励下达到给定的响应水平.1.2振动系统振动系统激励（输入）响应（输出）求:系统参数。？已知:系统的激励和响应;√√17振动系统激励（输入）响应（输出）3．环境预测已知:系统参数和系统响应，确定:系统的激励.?√√1.2振动系统18振动的物理模型：（1）单自由度系统；（2）多自由度系统；（3）连续体系统。振动的分类（按振动产生的原因）：（1）自由振动：（2）受迫振动：1.3振动模型与分类自由度:确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置所需的独立坐标的数目.1.3振动模型系统在持续外激励作用下的振动。系统仅受初始激励产生的振动；19第二节单自由度系统的无阻尼自由振动机械振动基础20无阻尼自由振动自由振动：系统仅受到初始条件（初始力、初始的位移）的激励而产生的振动。系统的无阻尼自由振动是对实际问题的理论抽象，是一种理想条件，实际的系统都有阻尼。如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世界将处于无休止的振动中。§2单自由度系统的无阻尼自由振动21Fig.1单自由度系统无阻尼自由振动模型l0δstkmmOx2.1振动模型mmmgFxmmxkmmmmgFNxmxOF§2单自由度系统的无阻尼自由振动222.2振动微分方程以静平衡位置为坐标原点，由牛顿第二定律，有st,Fkx其中，st.mgkmxmgF（*）mxkx（*）式简化为：0kxxm即：令：2nkm则：2n0xx单自由度无阻尼自由振动的微分方程，固有圆频率nl0δstkmmOxmmmgFxmmxFig.1单自由度系统无阻尼自由振动模型§2单自由度系统的无阻尼自由振动232.1振动微分方程2nkm——固有圆频率2n0xx单自由度无阻尼自由振动的微分方程方程的解：1n2ncossinxtCtCt其中，为积分常数，由运动初始条件确定。12,,,CCA简谐振动或nsinxtAt位移可以表示为时间的简谐函数（正弦或余弦）l0δstkmmOxmmx§2单自由度系统的无阻尼自由振动24三角公式推导根据三角函数公式1n2n221212nn22221212cossin(cossin)xCtCtCCCCttCCCC1222221212sincosCCCCCC,令：2212nn2212n(sincoscossin)sin()xCCttCCt则：2212CCA,令：nsin()xAt25§2单自由度系统的无阻尼自由振动2.2振动的特点周期函数：,xtxtT周期，单位为秒（s）。:T频率，单位为赫兹（Hz）。1/:fT单位时间内振动的次数。：表示秒内振动的次数。2n2fn,km，系统的固有圆频率。n－圆频率nsinxtAt2.1振动微分方程：n2T§2单自由度系统的无阻尼自由振动26振幅：A－相对于振动中心O点的最大位移。相位（相位角）：nt初相位：说明：为待定积分常数，由初始条件确定。,A2.2振动的特点§2单自由度系统的无阻尼自由振动nsinxtAt2.1振动微分方程：§2单自由度系统的无阻尼自由振动初始条件0x0v0sintxtAn0costxtA22002nvAxn00tanxv27质点的速度与加速度：nncosvtxtAt2nnsinatvtxtAt2.2振动的特点§2单自由度系统的无阻尼自由振动nsinxtAt2.1振动微分方程：§2单自由度系统的无阻尼自由振动27vtxa2468101214-1-0.50.51Fig.2vxa28练习1图示的弹簧质量系统，已知：弹簧的刚度系数为k，质量块的质量为m，将质量块缓慢向下移动a0后，在t=0的时刻突然放开。试求质量块的运动规律。mFig.3kmmOxa0§2单自由度系统的无阻尼自由振动29无阻尼自由振动:惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。有阻尼自由振动:对于实际的振动系统，由于不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以致最后振动完全停止。§2单自由度系统的无阻尼自由振动30第三节单自由度系统的有阻尼自由振动机械振动基础313.1单自由度系统有阻尼的自由振动模型Fig.1单自由度系统无阻尼自由振动模型l0δstkmmOxmmxFig.4单自由度系统有阻尼自由振动模型mOxmxckckm阻尼§3单自由度系统的有阻尼自由振动32Fig.4单自由度系统有阻尼自由振动模型mOxmxck1.阻尼：振动过程中的阻力。－介质间摩擦力引起的介质阻尼；－材料变形产生的材料内阻尼；－接触面摩擦产生的摩擦阻尼；－电磁作用产生的电磁阻尼。我们将要讨论的阻尼类型：粘性阻尼：Fvc,c（粘性）阻尼系数。3.1单自由度系统有阻尼的自由振动模型§3单自由度系统的有阻尼自由振动33Fig.4单自由度系统有阻尼自由振动模型mOxmxck3.2振动微分方程cFx2.mmmgF1,xxF2以静平衡位置为坐标原点，x轴向下为正，有12mxmgFF（*）mxkxcx（*）式简化为：0ckxxxmm整理上式：令：2n,2kcnmm则：2n20xnxxst,mgk1st,Fkx其中，单自由度有阻尼自由振动的微分方程§3单自由度系统的有阻尼自由振动34Fig.4单自由度系统有阻尼自由振动模型mOxmxck振动微分方程的解2n20xnxx微分方程的解设为：，stxe该特征方程的两个根为：221n222nsnnsnn故微分方程的通解为：1212ststxCeCe特征方程可以有三种情况：（1）两个不等的负实根；（2）两个相等的负实根；（3）一对共轭复根。22n20sns系统的特征方程为：§3单自由度系统的有阻尼自由振动35临界阻尼系数使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，称为临界阻尼系数（criticaldampingcoefficient）记为，cc2ccmn特征方程的两个根为：22221n2n,snnsnn2n,2kcnmm§3单自由度系统的有阻尼自由振动2mkn2mcc36阻尼比阻尼比,又称相对阻尼系数。无量纲,是一个重要的振动参数。ccc，表征一个振动系统阻尼的大小：2nkmnn2ccmkn2cm2cnm2cmk111，表示大阻尼/超临界阻尼/强阻尼；，表示临界阻尼，，表示小阻尼。37n22cccccmkm2n,2,kcnmmn2n02xxx原来的微分方程可以改写成：2n20xnxx21,2n1s特征根：3.3微分方程和解的另一种表达方式§3单自由度系统的有阻尼自由振动38（1），超临界阻尼/强阻尼的情形.方程的两个特征根均为实数，1与初始条件有关，12,CC00,xx0n01,202n121xxCx21,2n1s特征根：3.4讨论22nnn1112tttxeCeCe方程的通解为：§3单自由度系统的有阻尼自由振动39大阻尼系统的运动特点：大阻尼的运动不是振动，而是一种非周期性的指数衰减。§3单自由度系统的有阻尼自由振动C111stCe22stCe1212ststCeCeC2x(t)tFig.51212ststxCeCe40（2），临界阻尼的情形.1代入初始条件得，1020n0,CxCxx21,2n1s特征根：3.4讨论n12txeCCt方程的通解为：1,2ns临界阻尼系统的运动特点：临界阻尼下的系统的运动也不是振动，但在相同的条件下，临界阻尼系统的自由运动最先停止，因此，仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。§3单自由度系统的有阻尼自由振动41特征方程的根为：21,2nn1sj（3），小阻尼的情形.12dn1令：－有阻尼系统的固有频率n1d2dcossintxeCtCt微分方程的解可写为：21,2n1s特征根：ndsin()tAet22000