机械振动基础经典例题

例1：如图所示是一个倒置的摆，摆球质量m，刚杆质量忽略不计，每个弹簧的刚度是k/2，求：倒摆作微幅振动时的固有频率可以有几种解法？lmak/2k/2解法1：广义坐标θ，零平衡位置1动能势能2221112sin22kamgl2222211()()22kamglkamglmaxmaxTUmaxmaxn22nkamglmllmak/2k/2零平衡位置121121cos22Ukamgl2221122TJml解法2：广义坐标θ，零平衡位置2动能势能222112sin22kamgl2221122kamglmgl221()2kamglmgl0dTUdt2222()0mlkamgl2222()0mlkamgl22nkamglmllmak/2k/2零平衡位置22112cos22Ukamgl2221122TJml例题：如图，两弹簧的刚度分别是k1和k2，摆球的质量为m。若杆的质量忽略不计，用能量法求系统的固有频率。解：取摆球偏离平衡位置的角位移θ为广义坐标，作简谐振动，有系统最大动能bθθk1k2camsin()nAtmaxA2222max11()22nTmcmAccos()nnAtmaxnA最大弹性势能最大重力势能由得整理得2211max2max11()()22Ukakb222maxmax11(1cos)22UmgcmgcmgcAmaxmaxTU222222221211112222nmAckAakAbmgcA22122nkakbmgcmcbθθk1k2cam例：在图示系统中，弹簧长l，其质量ms，质量块m，求弹簧的等效质量及系统的固有频率。解：令x表示弹簧右端的位移，也是质量m的位移。假设弹簧各点在振动中任一瞬时的位移和一根直杆在一端固定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样，左端距离为的截面的位移为，则d弹簧的动能为2s1dd2smTxllxlld例：阻尼缓冲器静载荷P去除后质量块越过平衡位置得最大位移为初始位移的10％求：缓冲器的相对阻尼系数ζkcx0x0Pm平衡位置解：由题知，设求导设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：即经过半个周期后出现第一个振幅x1(0)0x0(0)xx000()(cossin)ntndddxxxtextt20()sinntnddxxtet12011()sin0ntnddxxtetdt12111100()ntxxtxexekcx0x0Pm平衡位置由题设质量块最大位移为初始位移的10％，可知解得：2111100()ntxxtxexe211010%xex0.59例：小球质量m，刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）阻尼固有频率，临界阻尼系数lakcmb解：广义坐标θ，受力分析力矩平衡：无阻尼固有频率：0mllcaakbb2220mlcakb22nkbbkmllm222ncaml22222ncacammlmlbklakcmbmacbklm220nnxxx阻尼固有频率：临界阻尼系数：2222421142dnkmblcaml22crblcmka212cammlbk例题：一个质量为1.95kg的物体在粘性阻尼介质中作强迫振动，激励力为N，(1)测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s，求系统的阻尼比及阻尼系数；(2)如果f=4Hz，无阻尼时振幅是有阻尼时振幅的多少倍解：(1)系统的固有频率共振时有25sin(2)Fft12100.20n22562.661.271010FcX12/XFk62.660.51221.9510ncm(2)振动频率为f=4Hz，频率比无阻尼时系统振幅有阻尼时系统振幅无阻尼与有阻尼系统振幅比为40.81/20nnfrf2221(1)(2)FXkrr211FXkr2222220.510.81()1()2.48110.8XrXr例题：偏心质量系统，共振时测得最大振幅为0.1m，由自由衰减振动测得阻尼系数为，假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系统共振时振幅为0.01m，系统的总质量需要增加多少？0.0510%mMmxc2k2kteMkctmesin2x解：（1）共振时最大振幅（2）若要使系统共振时振幅为0.01m10.1()2memM0.1()em10.01()2memMM10.10.01()20.05mmMM9MM9MM0.1mM例题1：汽车的拖车在波形道路上行驶，已知拖车的质量满载时为m1=1000kg，空载时为m2=250kg，悬挂弹簧的刚度为k=350kN/m，阻尼比在满载时为，车速为v=100km/h，路面呈正弦波形，可表示为求：拖车在满载和空载时的振幅比10.52sinfzxall=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽车行驶的路程可表示为：因此：路面的激励频率：有c、k为常数，因此与成反比因此得到空载时的阻尼比为：满载和空载时的频率比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfzzvt2sinfvxatl234.9/vradsl12121.0mm1112221.870.93nnmrkmrkm2ckm满载时阻尼比空载时阻尼比满载时频率比空载时频率比记：满载时振幅X1，空载时振幅X2有：因此满载和空载时的振幅比：10.521.011.87r20.93r21112221111(2)0.68(1)(2)Xrarr22222222221(2)1.13(1)(2)Xrarr120.6XXl=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz例题2：已知梁截面惯性矩I，弹性模量E，梁质量不计，支座A产生微小竖直振动，支座B不动求：质量m的稳态振动振幅解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度δ固有频率：xf是因yA的运动而产生的质量m处的运动动力学方程振幅：/ng(/)(/)sinfAxbaybdat()0fmxkxx(/)sinmxkxkbdat22/1111kbdabdXkrarambABAysinAydt例题：机器安装在弹性支承上，已测得固有频率fn=12.5Hz，阻尼比=0.15，参与振动的质量是880kg，机器转速n=2400r/min，不平衡力的幅值1470N；求：1）机器振幅2）主动隔振系数3）传到地基上的力幅解：1）频率比：弹性支承的刚度：机器振动的振幅：213.2602nnnrf226880(212.5)5.4310nkmN22210.0291()(1)(2)FXmmkrr2）主动隔振系数：3）传到地基上的力幅：22221(2)0.149(1)(2)FrTrr0.1491470219TFFTFN例：弹簧－质量系统受到周期为T的方波激励，系统固有频率为ωn求系统响应TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt解：a0在一个周期内总面积为0；区间[0,T]内，F(t)关于T/2为反对称，而cosnωt关于T/2对称。)(tF0F0F0T2/Tt=0=001()(cossin)2nnnaFtantbnt1sinnnbnt00002()2()cos2()sinTTnTnaFtdtTaFtntdtTbFtntdtT区间内，F(t)关于对称，而n取偶数时，关于反对称；区间内，F(t)关于对称，而n取偶数时，关于反对称；因此bn=0,n=2,4,6…1()sinnnFtbnt0,2T02()sinTnbFtntdtTsinnt,2TT34Tsinnt4T34T)(tF0F0F0T2/Tt4T当n取奇数时于是，周期性激励F(t)可写为：系统运动方程则有5,3,1n011,3,541()sinsinnnnFFtbntntn0411(sinsin3sin5)35Fttt()mxcxkxFt01,3,54()sin()nnnFxtntk02()sinTnbFtntdtT4008sinTFntdtT04Fn其中：当不计阻尼时：22221(1)(2)nnnrnr12221nnrtgnrnr0221,3,541()sin(1)nFxtntknnr例：无阻尼弹簧－质量系统在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用求：系统响应000,0()0,QttFttt)(tF0Q00tt解法一：（1）当时000,0()0,QttFttt)(tF0Q00tt00tt01()()sin()tnnxtFtdm00sin()tnnQtdm02(1cos)nnQtm0(1cos)nQtktnnnnndτtωFmωtωωxtωxtx000)(sin)(1)sincos()(（2）当时，0tt01()()sin()tnnxtFtdm000,0()0,QttFttt)(tF0Q00tt00001[sin()0sin()]ttnntnQtdtdm001[cos()cos]nnnnQtttm0[cos()cos]nnnQtttk（1）当时，（2）当时，因此，系统响应：00tt0tt000,0()0,QttFttt)(tF0Q00tt0()(1cos)nQxttk00()[cos()cos]nnQxttttk00000(1cos),0()[cos()cos],nnnQtttkxtQtttttk解法二：当tt0时激振力已经去除，此时系统将以时刻t=t0时的位移和速度为初始条件做自由振动，称为残余振动。tt0时的响应可以求解如下先求得t=t0时刻的位移和速度：000()(1cos)nQxttk000()sinnnQxttk)(tF0Q00tttt0时的响应：于是系统响应为0000()()()cos()sin()nnnxtxtxttttt000000(1cos)cos()sinsin()nnnnQQttttttkk00[cos()cos]nnQtttk00000(1cos),0()[cos()cos],nnnQtttkxtQtttttk例题：图示系统，有试确定系统的固有频率和主振型m1m2k3k1k2x1x2F1(t)F2(t)1212,2,,mmmmkkk32kk由已知条件得特征方程为特征值为固有频率为11122kkkk22233kkkk1221kkk24222750nnmmkk1nkm252nkm221,232322222nkkkkkkmmmmmm把ωn1、ωn2分别代入