双曲线的几何性质课件

双曲线的简单几何性质襄安中学李向林oYX标准方程范围对称性顶点焦点对称轴离心率准线关于X,Y轴,原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2;B1B2acecax2|x|a,|y|≤b12222byaxF1F2A1A2B2B1复习椭圆的图像与性质cax2cax2上述性质其研究方法各是什么？双曲线的标准方程形式一：（焦点在x轴上，（-c，0）、（c，0））)0,0(12222babyax1F2F形式二：（焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c））其中)0,0(12222babxay1F2F222cba复习YXF1F2A1A2B1B212222byax焦点在x轴上的双曲线图像2、对称性一、研究双曲线的简单几何性质)0,0(12222babyax1、范围axaxaxax,,12222即关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa)0,()0,(21aAaA、顶点是如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长2A1A2B1B（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）)0(22mmyxM(x,y)4、渐近线1A2A1B2BN(x,y’)Q:的位置关系它与xaby:的位置的变化趋势它与xaby的下方在xaby慢慢靠近xyoxabyxabyab)0(22xaxaby分的方程为双曲线在第一象限内部xabybabyax的渐近线为双曲线)0,0(12222（1）的渐近线为等轴双曲线)0(22mmyx（2）xy利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）Yxabxaxabaxaby222)(1222222))((axxaxxaxxab证明:双曲线的渐近线方程为这一部分的方程可写为12222byaxxaby设M(x,y)是它上面的点，N(x,Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则axaxaby22xabyxabY22axxab22axxabyYMN•先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.NMQ如何根据双曲线的标准方程确定双曲线的渐近线方程方法一(几何法)矩形对角线所在直线方法二把双曲线标准方程中等号右边的1改为0,就得到了双曲线的渐近线方程反过来,能否由渐近线方程确定双曲线的标准方程呢?这样的双曲线是否是唯一的?0byax22221xyab-=?探求:以为渐近线的双曲线有哪些?034yx?双曲线的渐近线方程为22221xyab-=xaby观察它们形式上的联系xaby已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系如果两条渐近线方程为,那么双曲线的方程为当λ0时,当λ0时,当λ=0时,0byax2222byax,这里λ是待定系数共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。通过分析曲线的方程，发现二者具有相同的渐近线。此即为共轭之意。双曲线焦点在x轴上双曲线焦点在y轴上即为双曲线的渐近线方程1）性质：共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。2）如何确定双曲线的共轭双曲线？将1变为-1根据以上四项性质,能较准确地画出双曲线的图形吗?练习:画出双曲线的草图22149xy-=双曲线的开口大小有没有限制?向远处伸展有没有约束范围?22194yx=-32x44922xy2224149xxy24123xxy当x→∞时,方程近似变为,即双曲线上的点无限接近直线xy23xy235、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace离心率。ca0e1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：11)(2222eacaacab也增大增大且时，当abeabe,),,0(),1(的夹角增大增大时，渐近线与实轴eace222bac二四个参数中，知二可求、、、在ecba（4）等轴双曲线的离心率e=?2(5)的双曲线是等轴双曲线离心率2eA1A2B1B2abc222abcx0y几何意义焦点在x轴上的双曲线的几何性质复习双曲线标准方程：YX12222byax0byax双曲线性质：1、范围：x≥a或x≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点A1（-a，0），A2（a，0）4、轴：实轴A1A2虚轴B1B2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=acXYF1F2OB1B2A2A112222bxay焦点在y轴上的双曲线图像焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答双曲线标准方程：YX12222bxay0byax双曲线性质：1、范围：y≥a或y≤-a2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。3、顶点B1（0，-a），B2（0，a）4、轴：实轴B1B2;虚轴A1A2A1A2B1B25、渐近线方程：6、离心率：e=c/aF2F2o如何记忆双曲线的渐进线方程？小结xyoax或axayay或)0,(a),0(axabyxbayace)(222bac其中关于坐标轴和原点都对称性质双曲线)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay范围对称性顶点渐近线离心率图象xyo12byax222（a＞b＞0）12222byax(a＞0b＞0)222ba(a＞0b＞0)c222ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象yXF10F2MXY0F1F2p小结渐近线离心率顶点对称性范围准线|x|a,|y|≤b|x|≥a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)无y=abx±cax2cax2例1:求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率.渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922xy1342222xy5342245acexy34例题讲解1、填表标准方程32822yx81922yx422yx1254922yx2a2b范围顶点焦点离心率渐进线|x|≥0,240,6223exy424618|x|≥3(±3,0)0,10310ey=±3x44|y|≥2(0,±2)2e22,0xy1014|y|≥5(0,±5)74,0574exy752824例2求中心在原点,对称轴为坐标轴,经过点P(1,3)且离心率为的双曲线方程21.已知双曲线的实轴的一个端点为A1,虚轴的一个端点为B1,且则b等于________222116xyb-=115AB=2.双曲线的离心率为2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长,短两段的比是______________________3:13.已知双曲线的离心率则m的取值范围是__________2214xym+=2,1e(-12,0)4.双曲线与椭圆有相同的焦点,一条渐近线为y=x,求双曲线的方程.2211664xy+=2224yx-=3练习5.双曲线和它的共轭双曲线离心率分别为e1和e2，则e1、e2应满足的关系_________________________6.双曲线的离心率为2,则两渐近线的夹角为__________60°1112221ee例3已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为12，求它的标准方程.23yx注：称为与双曲线共渐近线的双曲线系方程（λ是参数）2222byax12222byaxP113，1小结：本节课讨论了双曲线的简单几何性质：范围，对称性，顶点，离心率，渐近线，请同学们熟练掌握。作业113，1例2:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1证明:(1)设已知双曲线的方程是:12222byax则它的共轭双曲线方程是:12222axby渐近线为：0byax渐近线为:0axby可化为：0byax故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),∵22bac22bac∴c=c'所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆.2222上bayx问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？谢谢光临！2005，12、14