双曲线的渐近线

关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（－a，0），A2（a，0）A1（0，－a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby22222222(0)0.xyxyabab双曲线渐近线方程02222byax0))((byaxbyax或0byax.0byaxxaby＝能不能直接由双曲线方程推出渐近线方程？结论：100xy(a,b)ab2222双曲线方程中，把1改为0，得由双曲线方程求渐近线方程的方法：____________________________________________________________________________(1)定焦点位置，求出a、b，写出方程(2)由双曲线方程的常数项令为零即可若渐近线方程为mx±ny=0，则双曲线方程为____________________________或____________________________m2x2－n2y2=k(k≠0)2222(0)xykknm整式标准例1．已知双曲线的焦点在x轴上，中心在原点，如果焦距为8，实轴长为6，求此双曲线的标准方程及其渐近线的方程。练习、求下列双曲线的渐近线方程(1)4x2－9y2=36,(2)25x2－4y2=100.2x±3y=05x±2y=0例2.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像：149).122yx149).222yx0xy例3求与双曲线共渐近线且过点191622yx的双曲线方程及离心率．)(332，解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为091622yx∵点在双曲线上，)(332，99161241故所求双曲线方程为：4191622yx即.144922xy∴离心率.35e，，223ba.25449c例4．已知双曲线的渐近线是x±2y=0，并且双曲线过点求双曲线方程。)3,4(M变形：已知双曲线渐近线是x±2y=0，并且双曲线过点求双曲线方程。)5,4(N22220,x;0,yxyab令双曲线为，若求得则双曲线的交点在轴若则焦点在轴上。例5．已知双曲线的渐近线方程为y=±,并且焦点都在圆x2+y2=100上，求双曲线的方程。43x解：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程是12222byax因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=±43x所以43ba由2210043abba解得223664ab所以双曲线的方程是2213664xy当焦点在y轴上时，设双曲线的方程是22221yxab因为焦点都在圆x2+y2=100上，所以c=10，又双曲线的渐近线方程为y=±43x所以43ab解得226436ab所以双曲线的方程是2216436yx2210043abab由例5.已知双曲线的方程渐近线为xy34上，求双曲线方程.并且焦点都在圆10022yx解：∵双曲线的方程渐近线为034yx∴可双曲线方程为：)(0432222yx∵焦点都在圆10022yx上，.1002c22(3||)(4||)1004.∴所求双曲线方程：2222434yx221.3664yx即2．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．3．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b4．渐近线与离心率x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．1．(2013·福建高考)双曲线x24－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.25B.45C.255D.455解析：双曲线x24－y2＝1的渐近线方程为y＝±x2，即x±2y＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.[练一练]答案：C2．(2013·云南模拟)已知F(c,0)是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，若双曲线C的渐近线与圆E：(x－c)2＋y2＝12c2相切，则双曲线C的离心率为________．解析：依题意得，圆心F(c,0)到渐近线的距离等于22c，即有b＝22c(注：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其虚半轴长)，c2＝2b2＝2(c2－a2)，c2＝2a2，ca＝2，即双曲线C的离心率为2.答案：2双曲线的渐近线与离心率问题是每年各地高考命题的热点.归纳起来常见的命题角度有：1已知离心率求渐近线方程；2已知渐近线求离心率；3已知离心率确定渐近线夹角问题；4利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围.角度一已知离心率求渐近线方程1．(2013·新课标卷Ⅰ)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x解析：∵e2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝54，∴b2a2＝14，∴ba＝12，∴y＝±12x.答案：C角度二已知渐近线求离心率2．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.5解析：设双曲线的一条渐近线方程为y＝kx，由题可知这条直线与抛物线y＝x2＋1相切，联立y＝kx，y＝x2＋1.整理得x2－kx＋1＝0，则Δ＝k2－4＝0，解得k＝±2，即ba＝2，故双曲线的离心率e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋ba2＝5.答案：D3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．角度三由离心率研究渐近线夹角问题解析：∵e＝2，∴e2＝2，即c2a2＝2，又c2＝a2＋b2，∴b2a2＝1,即ba＝1，∴一条渐近线与实轴所成锐角的值是π4.答案：π4双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为_______.【解析】渐近线斜率是而夹角是60°.因为两直线关于x轴对称，所以和x轴夹角是30°或60°.即或若若b2=3a2，c2=a2+b2=4a2，e2=4，e=2.答案：2或ba，b3tan30a3，btan603a，222222b3a3bcab4ba3，，，222c423ee.a33，b3a，2335分)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(,2]B.[,2)D.[,+∞)C.(,+∞)D.[【解析】选A.设双曲线的焦点在x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的斜率必须满足所以即有又双曲线的离心率为所以e≤2.4．(2013·惠州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，5)B．(1，5]C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)角度四利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则由题意得ba＞2，∴e＝ca＝1＋ba2＞1＋4＝5.答案：C围。双曲线离心率的取值范不同交点双曲线，与双曲线的右支有两个时，直线斜率为两支各有一个；当直线右，直线与双曲线的左、当直线斜率为作直线，的右焦点过双曲线3212222Fbyax10,5，21,32abeab过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线条数，与这个定点的位置有关：(1)当点在渐近线上时有0条或2条(为中心时有0条，其余有2条)；(2)当点在双曲线上时有3条；(3)当点在双曲线内部时有2条；(4)其余均为4条。解题归纳变式2：过定点P(0,-1)的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有（）条。422yx过定点P(2,1)的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有（）条。422yx变式144变式2过定点P(3,1)的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有（）条。422yx2过定点P(1,1)的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有（）条。422yx2变式3归纳：过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线的条数——数形结合，相切或与渐近线平行。变式43过定点的直线与双曲线仅有一个公共点的直线有（）条。422yx)1,5(P