双曲线的简单几何性质(二)

1双曲线的简单几何性质(二)22、对称性一、研究双曲线的简单几何性质1、范围22221,,≥≥≥≤xxaaxaxa即关于x轴、y轴和原点都是对称.x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab另外,22220xyab可知并夹在两相交直线之间.(如图)(下一页)顶点33、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.2A1A2B1B（2）(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.22(0)xymm顶点是12(,0)(,0)AaAa、(下一页)渐近线44、渐近线1A2A1B2Bxyobyxabyxaab利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响(3)动画演示点在双曲线上情况双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢?⑴双曲线22221xyab(0,0)ab的渐近线为byxa注:等轴双曲线22(0)xymm的渐近线为yx(动画演示情况)(下一页)离心率如何记忆双曲线的渐近线方程？55、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大(动画演示)⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比cea,叫做双曲线的离心率.⑵e的范围:ca0e1⑶e的含义:2222()11bcaceaaa∴当(1,)e时,(0,)ba,且e增大,ba也增大.e增大时,渐近线与实轴的夹角增大.同样可以形象地理解焦点离开中心的程度.另外（4）等轴双曲线的离心率e=?2,反过来也成立.∵222,ceabca⑸在、、、abce四个参数中,知二求二.6例1求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3焦点坐标为（0，-5）、（0，5）45ace离心率xy34渐进线方程为解：把方程化为标准方程221169yx7例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225(学习课本例4)8关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率1(0)xyabab2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）100yx(a,b)ab2222≥≤yayaxR，或关于x轴、y轴、原点对称(1)ceea渐进线ayxb..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)≥≤xaxayR，或(1)ceeabyxa9例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′A0xC′CB′By131225(学习课本例4)10根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2)分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.这里有两种方法来思考:法一:直接设标准方程,运用待定系数法;法二:巧设方程,运用待定系数法.法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了.11⑴法一:直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)解:双曲线221916xy的渐近线为43yx,令x=-3,y=±4,因234,故点(3,23)在射线43yx（x≤0）及x轴负半轴之间,∴双曲线焦点在x轴上,∴设双曲线方程为22221xyab(a0,b0),∴222243(3)(23)1baab解之得22944ab,∴双曲线方程为221944xy根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；12法一:直接设标准方程,运用待定系数法⑵解:设双曲线方程为22221xyab(a0,b0)则22222220(32)21abab解之得22128ab∴双曲线方程为221128xy根据下列条件，求双曲线方程:⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2).13根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(3,23)；⑵与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(32,2).法二：巧设方程,运用待定系数法.⑴设双曲线方程为22(0)916xy,∴22(3)(23)916∴14,∴双曲线方程为221944xy⑵设双曲线方程为221164xykk16040kk且∴22(32)21164kk,解之得k=4,∴双曲线方程为221128xy为什么可以这样设?14求证:渐近线方程为byxa的双曲线的方程可写成证明:直线bbyxyxaa与的交点为原点且它们关于x轴、y轴对称.∴双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上.⑴当焦点在x轴上,则方程可设为22221xymn.∴2222nbma,令22ma(0),则22nb∴双曲线的方程可写成2212211(0)xyab即22122(0)xyab的形式.⑵当焦点在y轴上,则方程可设为22221yxmn.∴2222mbna,令222na2(0),则222mb∴双曲线的方程可写成22222221(0)yxba即222222(0)xyab的形式.2222(0)xyab的形式.综上所述,原命题成立.15课堂练习:2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,－3)且离心率为的双曲线标准方程.21.过点（1，2），且渐近线为34yx的双曲线方程是________.2216955yx22188yx16学习小结:渐近线方程为byxa的双曲线的方程可写成2222(0)xyab的形式.巧设方程形式将使问题解决变得简洁.17椭圆有许多重要结论:(以椭圆22221(0)xyabab为例)1.00(,)Pxy是椭圆22221xyab上的任意一点，长轴两端点为1(,0)Aa、2(,0)Aa，则两直线1PA、2PA的斜率之积12PAPAkk等于常数_____.22ba2.00(,)Pxy是椭圆22221xyab上的任意一点,左焦点(,)0Fc左,右焦点(,)0Fc右,则_____________PF左,_____________PF右,反过来,满足这一条件的点在椭圆上.00aexaex00aexaex由此可知,maxPFac左,minPFac左离和它到右准线2:axc的距离的比是__________,且反过来,满足这一条件的点在椭圆上.3.00(,)Pxy是椭圆22221xyab上的任意一点到右焦点(,)0Fc右的距常数cea那么双曲线有没有类似结论呢?18双曲线的猜想:(以双曲线22221(0,0)xyabab为例)1.00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的任意一点，实轴两端点为1(,0)Aa、2(,0)Aa，则两直线1PA、2PA的斜率之积12PAPAkk等于常数_____.22ba2.00(,)Pxy是双曲线22221xyab的任意一点,左焦点(,)0Fc左,右焦点(,)0Fc右,则___________PF左,_____________PF右,反过来,满足这一条件的点在双曲线上.0aex0aex由此可知,minPFca右.离和它到定直线2:axc的距离的比是__________.3.00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的任意一点到右焦点(,)0Fc右的距常数cea那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢?19反过来成立吗?这其实就是课本例6的思考动点M(,)xy与定点(,0)(0)Fcc的距离和它到定直线22()MFxcy,解:∵点M(,)xy到定直线2:axc的距离2adxc,依题意MFcda,∴222()xcycaaxc①,方程①两边平方化简整理得222221xycaa②令222cab,方程②化为22221xyab这就是所求的轨迹方程.∴点M的轨迹是实轴长为2a、虚轴长为2b的双曲线.2:axc的距离的比是常数(1)ccaa,求点M的轨迹方程.20点M(,)xy与定点(,0)Fc(0)c的距离和它到定直线2:axc的距离的比是常数(1)ccaa,则点M的轨迹是一条双曲线.这是双曲线的又一几何本质特征.其中定点(,0)Fc是双曲线的一个焦点,定直线2:axc是对应于焦点(,0)Fc的一条准线,常数ca是双曲线的离心率e.双曲线的方程22221(0)xyabab焦点准线方程左准线:2axc(,0)Fc左、(,0)Fc右、右准线:2axc21(课本例6)已知过双曲线22136xy的右焦点2F，倾斜角为30的直线交双曲线于,AB两点，求AB.分析:求弦长问题有两种方法:法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公式代入求弦长;法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达定理来处理.22课堂练习:1.到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23的点的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线2.点P与两定点F1(－a，0)、F2(a，0)(a＞0)的连线的斜率乘积为常数k，当点P的轨迹是离心率为2的双曲线时，k的值为()(A)3(B)3(C)±3(D)４3.已知M为双曲线221124xy在第一象限上的一点,12FF、分别为左、右焦点,若12:3MFMF,则点M的坐标为________.CA(6,22)23双曲线的几个结论:(以双曲线22221(0,0)xyabab为例)1.00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的任意一点，实轴两端点为1(,0)Aa、2(,0)Aa，则两直线1PA、2PA的斜率之积12PAPAkk等于常数_____.22ba2.00(,)Pxy是双曲线22221xyab的任意一点,左焦点(,)0Fc左,右焦点(,)0Fc右,则___________PF左,_____________PF右,反过来,满足这一条件的点在双曲线上.0aex0aex由此可知,minPFca右.离和它到定直线2:axc的距离的比是__________.3.00(,)Pxy是双曲线22221xyab上的任意一点到右焦点(,)0Fc右的距常数cea24课外作业:1.过双曲线116922yx的左焦点F1作倾角为4的直线与双曲线交于A、B两点，则|AB|=.2.双曲线的两条渐进线方程为20xy，且截直线30xy所得弦长为833，则该双曲线的方程为（）(A)2212xy(B)2214yx(C)2212yx(D)2214xyD1927