双曲线的简单性质

xF1yOF2M3.前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？你能类比探究出双曲线的几何性质吗？复习xF1yOF2M1.双曲线的定义，代数表达式，标准方程（焦点分别在x、y轴上），a、b、c间的关系？2.写出满足下列条件的双曲线的标准方程：①a=3，b=4焦点在x轴上；②焦点在y轴上,焦距为8,a=21、顶点xyo-b1B2Bb1A2A-aa12(,0)(,0)AaAa、得顶点是实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线方程中令y=0得x=±a,方程中令x=0得y2=-b2,y无解，12AA实轴；12BB虚轴；a，实半轴长实轴长2ab，虚半轴长虚轴长2b所以双曲线与y轴不相交一、探究双曲线的简单几何性质)0,0(12222babyax3、对称性2、范围以-x代x方程不变，故图像关于轴对称；122axxyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)以-y代y方程不变，故图像关于轴对称；以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于对称yx原点22ax即axax或1A2A4、渐近线1A2A1B2Bxyoab观察这两条直线与双曲线有何关系？双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近！故把这两条直线叫做双曲线的渐近线！12222byax4、渐近线xaby1A2A1B2Bxyoab（3）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图思考（1）双曲线的渐近线方程是？12222byax0byax渐进线方程可由双曲线方程怎样得到？（2）等轴双曲线的渐近线方程是什么？xybabkabk(a,b)5、离心率双曲线的叫做的比双曲线的焦距与实轴长,ace离心率。ca0e1（1）定义：（2）e的范围？（3）e的含义？e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大11)(2222eacaacab关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby双曲线的简单几何性质考点突破求双曲线的性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出双曲线的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标、渐近线方程等几何性质．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【思路点拨】将双曲线方程变为标准形式，确定a，b，c后求解．例1求下列双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程。221.1169xy222.2516400yx由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．首先，利用性质判断焦点的位置,设出双曲线的标准方程；再由已知构造关于参数的方程求得．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论．为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2+ny2＝1(mn0),从而直接求得．由双曲线的几何性质求标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，离心率是54；(2)焦距为20，渐近线方程为y＝±12x；例2【思路点拨】分析双曲线的几何性质→求a，b，c→确定讨论焦点位置→求双曲线的标准方程求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点在x轴上(2)离心率,经过点M(-5,3)2e双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m,试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程。分析引导：题目是个典型的求曲线方程问题，求双曲线的方程只需求出a,b即可，建立坐标系、找出关系式求解。oxyAA’CC’BB’解：如图以冷却塔的轴截面所在的平面建立直角坐标系，使小圆的直径AA’在x轴上。由已知可知：设C’(13,y),则B’(25,y-55)则设双曲线的方程为：),0b0,a(1byax22221by12131b55)-(y12252222222225b解之得：|AA’|=2a=24即a=12，oxyAA’CC’BB’1625y144x22所求的双曲线方程为：关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率)0(1babyax2222A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）),b(abxay0012222Rxayay，或关于x轴、y轴、原点对称)1(eace渐进线xbay..yB2A1A2B1xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)Ryaxax，或)1(eacexaby