概率论第一章习题

作业习题解答教材：盛骤等《概率论与数理统计》第4版.高等教育出版社,2008概率论与数理统计2第1章概率论的基本概念习题3(1)3(1)设A,B,C是三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。解：利用三个事件的加法公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)其中P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=0故P(A∪B∪C)=1/4+1/4+1/4－1/8=5/83第1章概率论的基本概念习题3(2)3(2)已知,10/1)(,5/1)(,3/1)(,2/1)(ABPCPBPAP,15/1)(ACP30/1)(,20/1)(ABCPBCPCBACBACBACBABABA,,,,,求的概率。利用德摩根律和逆事件概率可得：()()1()111/154/15PPPAABABB()()1()117/203/20ABCABCBPPPCA解：由加法公式可得P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)=17/20P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=1/2+1/3－1/10=11/154第1章概率论的基本概念习题3(2)()]()()()7/6)0([ABCABSCPABABCPABPPPABC利用差事件概率可得由加法公式可得()()()()4/151/57/607/20ABCABABPPPCCP或利用条件概率的乘法定理可得或()[()()][()()][()()]()()()()()()7/60PPSASBCPSACBCPCBCACABCPCBCPACABCPCPBCPACPACCABB60/7)()()()]|(1[)()|()(CBAPBAPBAPBACPBAPBACPCBAP53.(3)已知P(A)=1/2,(a)若A,B互不相容，求,(b)若P(AB)=1/8,求)(PAB)(PAB若A,B互不相容，则P(AB)=0,故()()1/2PAPAB(a)()()()1/21/83/8PAPAPABB(b)解：利用差事件概率可得()[()]()()()PAPASBPAABBPAPAB第1章概率论的基本概念习题3(3)6第1章概率论的基本概念4.设A,B是两个事件.(1)已知,验证A=BBABA习题4(1)BASBSABABA)()(ABSBABASABBABABA证：方法一7第1章概率论的基本概念4.设A,B是两个事件.(1)已知,验证A=BBABA习题4(1)方法二ABBAABBABABA利用分配律可得，上式等价于)()(AABBBA即BABSAS8第1章概率论的基本概念习题4(2)(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)－2P(AB)4.设A,B是两个事件.证：ABBA“A,B恰有一个发生”)()()()(ABBAPABPBAPABBAP)()(BABPABAP)()()()(BAPBPABPAP)(2)()(ABPBPAP空集方法一9第1章概率论的基本概念习题4(2)(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)－2P(AB)4.设A,B是两个事件.方法二“事件A，B都发生”=AB“事件A,B都不发生”=BA“事件A,B恰有一个发生”=)(BAABS)(1)]([BAABPBAABSP)()()(1BAABPBAPABPBAABBAAB)](1[)(1BAPABP)]()()([1)(1ABPBPAPABP)(2)()(ABPBPAP105.10片药片中有5片是安慰剂.(1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率.(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的概率.解(1):这属于经典概型的组合问题令Ai=“取到的5片中有i片是安慰剂”，i=0,1,2,3,4,5，它们是互不相容的。根据概率的有限可加性，所求概率为505555452551011100()1()113()1126iiCPAPAPCCCACC则555510()iiiCCPAC且50()1iiPA(2)令Ai=“第i次取到的是安慰剂”利用条件概率的乘法定理可得123312211()()()3451||89112()0PAAAPAPAPAAAA353105410319812APA或第1章概率论的基本概念习题511第1章概率论的基本概念习题6(1)6.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.(1)求最小号码为5的概率.解：样本空间的基本事件总数目为310Cn最小号码为5，则另外两个号码只能在6，7，8，9，10共5个号码中任选，故：事件“最小号码为5”包含的基本事件数目为25CkP{“最小号码为5”}=12131025CCnk12第1章概率论的基本概念习题6(2)6.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码.(2)求最大号码为5的概率.P{“最大号码为5”}=20131024CCnk解：分析方法同(1),可得138.在1500件产品中有400件次品，1100件正品，任取200件.(1)求恰有90件次品的概率.(2)求至少有2件次品的概率。解(1)这属于经典概型的组合问题1109011004002001500CCPC恰有90件次品的概率(2)令Ai=“取出的200件产品中有i件次品”，则所求概率为20019911100110040001200200150015001()()1PPAPACCCCC第1章概率论的基本概念习题814第1章概率论的基本概念习题14（1）14.(1)已知求条件概率,5.0)(,4.0)(,3.0)(BAPBPAP.)|(BABP解：ABBBBABAB)(BAABSA)()()()()]([BAPAPBAAPBABP)()()()(BAPBPAPBAP)()]([)|(BAPBABPBABP(1)2.05.03.01(2)8.05.06.07.0(3)(2)(3)代入(1)可得25.08.02.0)|(BABP15第1章概率论的基本概念习题14（2）14.(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,求P(A∪B).解：)()()()(ABPBPAPBAP1214131)()|()(APABPABP)()()|(BPABPBAP由已知条件可得于是)()()()(ABPBPAPBAP3/112/16/14/1612/112/1)|()()(BAPABPBP1621.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者.问此人是男性的概率是多少?解：设A=“任选一人为男性”，B=“任选一人为色盲”(|)5%,(|)0.25()50%,%PBAPBAAP则由题意知：利用全概率公式可得()(|)()(|)(5%50%0.25%50%2.625%)PBPBAPAPBPAA第1章概率论的基本概念习题21再根据贝叶斯公式可得所求概率为%24.952120%625.2%50%5)()()|()|(BPAPABPBAP17第1章概率论的基本概念习题2222.一学生接连参加同一课程的两次考试.第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2.(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率.(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率.解：令Ai=“第i次考试及格”，i=1,2由题给条件可知2/)|(,)|(,)(12121pAAPpAAPpAP)1(21)1(2)()|()()|()(21121122pppppAPAAPAPAAPAP可得pAP1)(1211221)()|()(pAPAAPAAP，18第1章概率论的基本概念习题22(1))3(21)1(21)()()()(2212121ppppppAAPAPAPAAP(2)pppppAPAAPAAP122/)1()()()|(22212119第1章概率论的基本概念习题2424.有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.求第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.解：设A=“第一次取到的是一等品”，B=“第二次取到的是一等品”，C=“零件来自第一箱”.52213018215010)()|()()|()(CPCAPCPCAPAP根据全概率公式可得)()|()()|()(CPCABPCPCABPABP290514909212930171821495091020第1章概率论的基本概念习题244856.025290514909)()()|(APABPABP)(]|)|[()(]|)|[()|(CPCABPCPCABPABP也可以这样：注意：499)|(]|)|[(ACBPCABP)()|()]|(|[)(])|[(]|)|[(CPABPABCPCPCABPCABP)|()]|(|[ABCPABCP)()|()()()()()()()|(APCABPAPCPABCPAPCPABPABCP2134.试分别求以下两个系统的可靠性:(1)设有4个独立工作的元件1，2，3，4.它们的可靠性分别为p1,p2,p3,p4,将它们按图1方式连接.(2)设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5.它们的可靠性均为p,将它们按图2方式连接.解：令Ai=“元件i正常工作”图11234图2123451234123141231412314[](()()()())PAPAPAPAPAAAAAAAAAAAAAAA(1)利用加法公式可得123141234AAAAAAAAA111AAA交换律及由独立性1234123141234([)]AAAppppppPAppp123451234512345AAAAAAAAAAAAAAA12345AAAAA(2)解法(一)列举出系统正常工作的各种可能情况123451234512345AAAAAAAAAAAAAAA1234512345AAAAAAAAAA123451234512345AAAAAAAAAAAAAAA42332523425(1)8(1)2(2521)+2Pppppppppppp1234512345AAAAAAAAAA第1章概率论的基本概念习题3422套用多个事件的加法公式可得1213545431235124512341345123452345123451234512345122345()()()()()()()()()()()()()()()AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPAPAPAAPAPAAAAAPAPAPAPAPAAPAPAPAPAPAAAAA123452345()2252AAAAppPApp图212345(2)解法(