第三章 有限元法-1

第3章有限元法FiniteElementMethod(FEM)第3章有限元法内容简介有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。这一方法的理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。本章介绍了如下内容:■有限元法的概述■平面刚架的有限元法■弹性力学平面问题的有限元法3.1概述在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：●用解析法求得精确解；●用数值解法求其近似解。其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。目前，工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法有限元法边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。“有限元法”的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。“有限元法”这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。3.1概述3.1.2杆系单元–定义杆系结构中的杆件、梁、柱等称为杆系单元。连接的点称为节点。杆系单元为一维单元。–结构离散一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应该设置节点，节点之间的杆件即构成单元。F节点1节点2单元①节点3节点2单元②有限元法的分析过程可概括如下：●连续体离散化●单元分析●整体分析●确定约束条件●有限元方程求解●结果分析与讨论1.连续体离散化连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。单元划分后，给每个单元及节点进行编号；选定坐标系，计算各个节点坐标；确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。图3-1所示为将一悬臂梁建立有限元分析模型的例子。图中将该悬臂梁划分为许多三角形单元；三角形单元的三个顶点都是节点。图3-1悬臂梁及其有限元模型2.单元分析连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。单元分析工作主要有两项：(1)选择单元位移模式(位移函数)用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需搞清各单元中的位移分布。一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。通常采用的函数形式多为多项式。根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷；采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵单元刚度矩阵。(2)分析单元的特性，建立单元刚度矩阵3.整体分析把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。4.确定约束条件由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。5.有限元方程求解通过求解整体平衡方程，即可求得各节点的位移，进而根据位移可计算单元的应力及应变。6.结果分析与讨论F节点2节点1单元②2122212211节点1节点2单元①111212节点2ef2)(1e)(2eeleAeE节点1ef1x节点1ef1x节点2ef2)(1e)(2eeleAeE节点1ef1eeeeeeeeeeeelAEflAEf212211eeeeelAEff21211111eeekf1111eeeelAEkeekkkkk22211211网架杆件节点位移单元刚度矩阵总刚度矩阵总刚度方程节点位移值杆件内力单元内力与节点位移间关系引入边界条件节点平衡及变形协调条件基本单元基本未知量3.2平面刚架的有限元法杆系单元–分类•桁架单元：桁架中的杆件•刚架单元：刚架中的杆件–区别：桁架节点：铰节点传递力！刚架节点：刚节点传递力和力矩！杆系单元的有限元分析与平面问题和空间问题比较，–基本流程完全相同；–具体计算细节需要按照杆系单元的特性来进行。刚架的有限元分析平面刚架两个坐标系：•局部坐标系•整体坐标系梁在横向外载荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生弯曲变形，在水平载荷作用下产生线位移。对于该平面简支梁问题：梁上任一点受有三个力的作用：水平力Fx，剪切力Fy，和弯矩Mz。相应的位移为：水平线位移u，挠度v，和转角z。由上图可见：水平线位移和水平力向右为正，挠度和剪切力向上为正，转角和弯矩逆时针方向为正。通常规定：11m22mxfu11xfu22yfv11yfv2212水平线位移和水平力向右为正，挠度和剪切力向上为正，转角和弯矩逆时针方向为正。为使问题简化，可把图示的梁看作是一个梁单元。如图所示，当令左支承点为节点1，右支承点为节点2时，则该单元的节点位移和节点力可以分别表示为：111222111222,,,,,,,,,,xyxyuvuvffmffm()111222,,,,,eTeuvuv称为单元的节点位移列阵。()111222,,,,,Texyxyfffmffm称为单元的节点力列阵；若{f}为外载荷，则称为载荷列阵。（5-1）（5-2）写成矩阵形式为显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小变形范围内，这种关系是线性的，可用下式表示11112131415161212223242526313233343536141424344454622515253545556616263642exyxyfkkkkkkfkkkkkkkkkkkkmkkkkkkffkkkkkkkkkkm1112226566eeuvuvkk()()()eeefk或上式称为单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）的联系；式中，[K](e)称为单元刚度矩阵，它是单元的特性矩阵。对于所示的平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵[K](e)中的各系数kst(s,t=i,j)的数值，具体方法如下：(1)假设u1=１，其余位移分量均为零，即v1=1=u2=v2=2=0，此时梁单元如图(a)所示，由梁的变形公式得图(a)111xfluEA32111032yflmlvEIEI211102yflmlEIEI伸缩：挠度：转角：由上述三式可以解得111,f0,m0xyEAfl根据静力平衡条件21212,f0,m0xxyyEAfffl解得111212311412512612,0,0,0,0xyxyEAkfkfkmlEAkfkfkml(2)同理，设v1=１，其余位移分量均为零，即u1=1=u2=v2=2=0,此时梁单元如图(b)所示，由梁的变形公式得110xfluEA伸缩：32211132yflmlvEIEI211102yflmlEIEI挠度：转角：图(b)111321260,f,mxyEIEIfll由上述三式可以解得利用静力平衡条件2121211321260,f,mxxyyyEIEIfffflmll解得12122132132422522622321260,,1260,,xyxyEIEIkfkfkmllEIEIkfkfkmll(3)同理，设，其余位移分量均为零，即此时梁单元如图(c)所示，由梁的变形公式得11112220uvuv110xfluEA32111032yflmlvEIEI211112yflmlEIEI伸缩：挠度：转角：由上述三式可以解得1112640,f,mxyEIEIfll图(c)利用静力平衡条件，可得21212112620,f,mxxyyyEIEIfffflmll13123133124325326322640,,620,,xyxyEIEIkfkfkmllEIEIkfkfkmll解得剩余三种情况，仿此可推出。最后可以得到平面弯曲梁元的单元刚度矩阵为这样，便求得单元刚度矩阵中前三列刚度系数。323222()0000126126006462000eEAEAllEIEIEIEIllllEIEIEIEIllllkEAl32322200012612600626400EAlEIEIEIEIllllEIEIEIEIllll可以看出，[k](e)为对称矩阵。66XYyxuvUVcossinsincosVUvVUu整体坐标系OXY局部坐标系OxyejjjiiieeVUVUvuvu1000000cossin0000sincos0000001000000cossin0000sincos222111坐标转换从整体坐标到局部坐标的坐标变换矩阵[T]eeeTeeeeTkTKT单元刚度矩阵具有下列特点：矩阵具有对称性矩阵具有奇异性矩阵具有分块性总刚矩阵具有下列特点：矩阵具有对称性，计算时不必将所有元素列出，只列出上三角或下三角即可。矩阵具有奇异性矩阵具有稀疏性。XYO1234(1)(2)(3)(4)总刚矩阵中边界条件的处理方法未引入边界条件前，总刚矩阵[K]是奇异的，不能进行求解。引入结构边界条件消除刚体位移后，总刚矩阵为正定矩阵。位移为零弹性约束指定位移处理方法约束条件的处理•位移分量的值为零：置1赋0法•位移分量等于一个已知的非零值：置大数法非节点载荷的处理（1）载荷移置原理（2）固定端反力和反力矩的计算平面桁架的有限元分析在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：n个节点类型局部坐标系下的单元刚度矩阵[k](e)整体坐标系下的单元刚度矩阵[K](e)坐标转换矩阵[T](e)总体刚度矩阵[K]刚架6*66*66*63n*3n桁架2*24*42*42n*2n【例】平面桁架