IIR DF的设计方法 武汉理工大学 数字信号处理

第7章IIRDF的设计方法一般滤波器的设计方法概述•因为，DF是一种具有频率选择性的离散线性系统，即选频滤波器。它在确定信号与随机信号的数字处理中有着广泛的应用。•数字滤波器的设计是确定其系统函数并实现的过程。性能指标•我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。•理想滤波器物理不可实现的。（由于从一个频带到另一个频带之间的突变）•要物理可实现：应从一个带到另一个带之间设置一个过渡带且在通带和止带内也不应该严格为1或零。应给以较小容限。1、低通滤波器的性能指标fswsfpwpδ21-δ11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)δ1:通带的容限δ2：阻带容限通带截止频率：fp(wp)又称为通带上限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fs(ws)又称阻带下限截止频率。阻带衰减：As2、高通滤波器的性能指标fswsfpwp1ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：fp(wp)又称为通带下限频率。通带衰减：Ap阻带截止频率：fs(ws)又称阻带上限截止频率。阻带衰减：As3、带通滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws24、带阻滤波器的性能指标fs1ws1fp1wp11ApAsfw|H(ejw)|或|H(f)通带截止频率：上限截止频率fp2(wp2)，下限截止频率fp1(wp1)。通带衰减：Ap阻带截止频率：上限截止频率fs2(ws2)，下限截止频率fs1(ws1)。阻带衰减：Asfp2wp2fs2ws25、通常具体技术指标，即归一化）（式中均假定：：阻带应达到的最小衰减通带允许最大衰减：1)()(lg20)()(lg20)()(lg20)()(lg20000jjwsjwsjjwpjwpjeHdBeHeHeHAsdBeHeHeHAp四、H(z)如何推导出•有时根据提出对滤波器的性能要求、频率特性（低、高、带通、带阻）来设计系统H(z).•有时根据时域波形提出要求来设计--单位冲激响应h(n)的形状。•有时也直接给出H(z).(但要求因果稳定).五、确定DF的采用的结构及运算结构的好坏确定DF的采用的结构将会影响DF的精度、稳定性、经济性及运算速度等很多重要性质。1.计算复杂性一个运算结构应含有最少的乘法器和最少的延时器。乘法器最费时间，延时器最费存储单元。2.存储器长度的有限和运算结构将会有影响。即有时会希望使用一种运算结构，虽然它的乘法器和延时器并不是最少的，但它对存储器的有限字长效应是最不敏感的。滤波器设计的步骤1.根据任务，确定性能指标。2.用因果系统的线性时不变系统函数去逼近。3.用有限精度算法实现这个系统函数。（包括选择运算结构、选择合适的字长、有效数字处理方法。）4.用适当的软、硬件技术实现包括采用：通用计算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。模拟滤波器的设计方法简介1.幅度平方响应来进行设计。就可根据幅度平方响应管相位时，当只需要逼近幅度而不＊jwezjwjwjwjwjwzHzHeHeHeHeHeH)()()()()()()(12通常我们用的数字滤波器一般属于选频滤波器，幅频特性表示信号通过该滤波器后频率成分衰减情况。本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计，即根据幅度平方响应来设计。由于冲激响应h(n)为实函数，故满足：)()(jwjweHeH＊即满足共轭对称条件。若是H(z)的极点，则：ijwrezijwerz1是H(z-1)的极点.又由于H(z)的有理表达式中各系数为实数，因而，零极点必然都以共轭对形式出现，故必有：ijwrezijwerz1两极点存在所以（1）H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位园镜像对称的。（2）为了使H(z)成为可实现的系统，故取：单位园内的那些极点作为H(z)的极点单位园外的那些极点作为H(z-1)的极点H(z)的零点一般不是唯一确定的，可在z平面上的任意位置。（3）如果选H(z)H(z-1)在z平面单位园内的零点作为H(z)的零点，则所得到的是最小相位延时滤波器。2.相位响应)(Re)(Imtan)()](Im)(Re[)()()(1)()(argjwjwjwjwjwejjweHjjwjweHeHeeHjeHeeHeeHeHjwjw滤波器的相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成，波形传输、图像信号处理等对波形有严格的要求，则需要设计线性相位数字滤波器。（放在第七章讲）3.群延时它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：更方便。比用表达，用当只需考虑相频特性时的线性函数。是即相频特性，具有线性相位，常数时，当)(arg)()(arg)()())((arg)(jwjwjwjweHwweHDFwdweddweHdw一、IIRDF系统函数IIRDF是一个递归型系统，其系统函数：作。性能要求，并能稳定工以使滤波器满足给定的或零极点确定的设计系统至少有一个不为其中，iiiiiNiiMiiNiiiMiiidcbazHNiazdzCAzazbzH,,,)(.0),1()1()1(1)(1111110二、IIRDF频率特性•它是由三个参量来表征：1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时决定。、群时延它又等效由、相频特性决定，的设计指标由幅频特性通常滤波器)()()()()(argwgeHDFeeHeHjweHjjwjwjw三、IIRDF的设计方法•设计IIR数字滤波器系统函数有两种方法：•1、简单滤波器的零、极点累试法•2、间接方法•3、直接方法1、简单滤波器的零、极点累试法在z平面上直接设计IIR数字滤波器，以滤波器响应作为依据，直接在z平面上，通过多次选定极点和零点位置逼近该响应。即在单位园内设置一对共轭极点，频响在w0处就有一峰值。r越近于1，极点位置越接近单位园，则峰值就越尖锐。同理，若在单位园内设置一对零点，频响就会在w1处出现零值，即可实现陷波。如特性还达不到要求，可再移动零、极点，这样作二、三次调整后，就可以获得一些简单的DF.这种方法，可以设计一些简单阶数很低（1~2阶)的DF。0jwre1jwrec**1jwre1jwre0w1ww)(jweHRe[z]Im[z]例子图。，分别画出其幅度特性设（，即要求处幅度为如果要求要求确定。用对某一固定频率幅度上式中系数，写出其零点确定极点解：幅度衰减到时，中心频率为设计带通滤波器，通带9.0,7.0,2/)1(1)1211))(()1)(1()()(1,.0,0.2/22222224,322,10rrGeHwGzrzGrezrezzzGzHzHzrezwjwjjj•从图中清楚表明，极点愈靠近单位园（r愈靠近1），带通特性愈尖锐。2、间接方法•由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIRDF的方法，即间接设计方法。•这种方法通常要先设计一中间滤波器，然后通过映射或频率变换完成最终IIR数字滤波器的设计。这种间接设计方法中包括：(1)由模拟滤波器设计数字滤波器(2)频率变换法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设计数字滤波器3、直接方法•直接方法(计算机辅助设计法)（1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。（2）在时域直接设计IIR数字滤波器此法根据性能指标和一定的逼近准则，直接利用计算机完成设计。由模拟滤波器设计数字滤波器的方法一、由模拟滤波器设计数字滤波器步骤•这种方法设计经以下三步：•1、数字滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器指标•2、模拟低通滤波器设计•3、映射实现：从模拟低通滤波器再转换成数字滤波器1、数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器指标•根据给定设计要求，把数字滤波器的性能指标变成模拟滤波器低通的性能指标。•这是因为模拟滤波器设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅；另外，还有一些典型的滤波器类型可供使用。（采用冲激不变法和双线性变换法）2、模拟滤波器设计•设计出符合要求的模拟滤波器的系统函数Ha(s)。可以选择多种类型的滤波器。如Butterworth,Chebyshev,Ellipse,Bessel等。3、映射实现•利用一定的映射方法，把模拟滤波器系统函数数字化，完成IIR数字滤波器系统函数的设计。（采用冲激不变法和双线性变换法）二、由模拟滤波器设计数字滤波器条件•由模拟变换到数字的映射必须满足两条基本要求：•①H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应。，S平面的虚轴jΩ必须映射到Z平面的单位圆上，即[S=jΩ,∞＜Ω＜∞]→[Z=,－π＜ω＜π]•②因果稳定的Ha(s)应能映射成因果稳定的H(z).为保持滤波器稳定性，S平面的左半平面必须映射到Z平面的单位圆内，即Re[s]0|z|10ΩSωz-ππ0ΩSωz-ππ三、由模拟滤波器设计数字滤波器这种方法的局限性•用这方法设计IIR数字滤波器存在一定的局限性：(1)这种方法只适于设计幅度响应分段恒定的滤波器，不能解决多带或任意幅度的滤波器的设计问题。(2)它只是一种可行的方法，而不是最优的方法。四、映射实现的方法•由模拟滤波器映射成数字滤波器的方法，也即，数字滤波器能模仿滤波器的特性。主要有以下几种映射方法：•冲激响应不变法•阶跃响应不变法•双线性变换法冲激不变法（脉冲响应不变法）由雷道（Rader),戈尔登(Golden)提出一、变换原理1、什么是冲激不变法•冲激响应不变法是从时域出发，要求数字滤波器的冲激响应h(n)对应于模拟滤波器ha(t)的等间隔抽样。h(n)=ha(nT)，其中T是抽样周期。因此时域逼近良好。2、数字滤波器与模拟滤波器的频率的响应映射关系•由于在时域抽样，导致在频域内，数字滤波器的频率响应H(ejw)为模拟滤波器频率响应的周期延拓.存在多对一的映射关系。lajwTkwjHTeH)2(1)(3、•冲激响应不变法的映射规则为:z=esT(T为抽样周期).这种映射并不是简单的代数映射，故不能将其直接代入Ha(s)来得到H(z).冲激响应不变法的映射规则4、映射规则的要点•S平面上每一条宽为的横带部分，将重叠映射到z平面的整个平面上。•每一横条的左半边映射到z平面单位园内，每一横条的右半边映射到z平面单位园外。•S平面的虚轴(j)轴映射到z平面单位园上，虚轴上每一段长为的线段都映射到z平面单位园上一周。•数字滤波器的频响并不是简单地重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓。T2T2二、性能分析•数字滤波器的冲激响应为对应模拟滤波器冲激响应的抽样，由抽样定理可知其频谱为模拟滤波器频谱的周期延拓。•只有模拟滤波器的频谱限带于折叠频率内时，即要满足•才能避免混叠失真。而实际的滤波器并非严格限带，所以用冲激响应不变法设计的数字滤波器不可避免地会产生混叠失真。所以此法只适于设计带限滤波器。kajwTkwjHTeH)2(1)（2,0)(saTjH三、设计流程的公式推导1、设计步骤•冲激响应不变法设计数字滤波器的思路为:(1)先根据要求，设计出中间模拟滤波器系统函数,(2)然后经下列变换设计出H(z)：Ha(s)→ha(t)→h(n)→H(z)即：Ha(s)求ha(t)=L-1[Ha(s)]ha(t)抽样，h(n)=ha(t)|t=nT=Ha(nT)(会导致频谱中幅度变小）T