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II.范希尔的几何思维水平起因在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很普遍的（Freudenthal,1958）。范希尔夫妇（PierreVanHiele&DinaVanHiele）作为荷兰一所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平，这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共同完成的的博士论文上。评价前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文（1959）在1963年就由皮什卡罗（A.M.Pyshkalo）作了详尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普（IsaakWirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者，并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表在Martin和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平发展的（Freudenthal,1973,p123）。所有这一些，使范希尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何教学研究的一个热点。水平的划分层次0︰视觉(visuality)层次1︰分析(analysis)层次2︰非形式化的演绎(informaldeduction)层次3︰形式的演绎(formaldeduction)层次4︰严密性(rigior)层次0︰视觉(visuality)儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述.例如：儿童可能会說某个图形是三角形，因为它看起來像一个三明治。层次1︰分析(analysis)儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。例如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但不能理解如果内角愈大，则对边愈长的性质。层次2︰非形式化的演绎(informaldeduction)儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。例如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制。因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系统性的证明.层次3︰形式的演绎学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。层次4︰严密性在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非欧氏几何系统的比较。水平的修正（VanHiele，1986）1.直观水平（visuallevel）——整体地认识几何对象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）认为这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识，命名，比较，和画出这些图形的时候，像三角形，角度，平行线”。2.描述水平（descriptivelevel）——通过几何性质认识几何对象。在这一阶段学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形。学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题。3.理论水平（theoreticallevel）——利用演绎推理证明几何关系。在描述阶段中由Murray（1997）提出的概念网络图在这一阶段完整和稳定了。学生理解和接受了准确的定义，学生谈论形状时涉及到这些定义，学生理解图形内部和图形之间的联系。这一阶段学生能够运用“如果┉那么”思想，并由此发展逻辑推理能力。几何教学阶段1.学前咨询(information)，教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理解要学习的课题。学生提出问题，对课题的对象和运用的词汇做出观察，确定下一步的学习。2.引导定向(guidedOrientation)，教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构的特性。在这个阶段中，许多活动都是引起一个特定的反应的一步（简单）作业。几何教学阶段3.阐明(explication)，通过前面的经验和教师最小程度的提示，学生明确了词汇的意义，表达自己对内在结构的看法。通过这一阶段，学生开始形成学习的关系系统。vanHiele（1984b）指出：在这个阶段的过程中，经验的获得取决于正确的语言符号和学生们在课堂上学习透过讨论去表达他们所观察到的结构之意见，老师只需注意这些讨论所使用的习惯措词。关连系统在这阶段就有一部份形成了几何教学阶段4.自由定向(freeorientation)，在这个阶段，学生碰到多步作业或能以不同方式完成的作业。在寻找方法和解决问题过程中，学生获得了经验。通过自己确定学习领域的方向，他们对学习对象之间的关系越来越明确。按照vanHiele（1984b）的观点：这个阶段是自由探索，调查的范围是大多数学生知道的，但学生仍需迅速地找到他的方向。几何教学阶段5.整合(integration)，学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的思维领域。教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此，教师要小心，不要提出新的或不一致的观点范希尔理论的特点1.次序性(sequential)：学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺利发展，必须具有前一水平的各个概念和策略。也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次。2.进阶性(advancement)：学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成长或心理成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平，由一水平进入下一水平并非一蹴而就的。3.内隐性及外显性(intrinsicandextrinsic)：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清。4.语言性(linguistics)：每一层次都有其专属的阶段性语言符号。在某一层次使用的语言符号，可能到了另一层次就必须调整为另一语言符号，因此每一层次都有其独特的语言符号，谓之语言性。5.不适配性(mismatch)：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果.尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法理解、思考其过程与结果。