相似三角形的性质典型例题

ADEMCFADCBB《相似三角形的性质》典型例题例1：（2002江苏南通）已知：AD:AB=1:3DE∥BC则S△ADE:S△AB=______分析：本题是考查相似三角形的性质，由于相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以只要能得到△ADE∽△ABC,那么S△ADE:S△ABC的植即可求出，故S△ADE::S△ABC=AD2:AB2=1:9例2：已知如图，在△ABC中，D是AB上一点，43BCBDABBC，△BCD的周长是24cm，求⑴△ABC的周长⑵S△BCD:S△ACD=⑶若CD=12cm,求AC解：⑴∵,43BCBDABBC公共，∴△BCD∽△BAC∴34BCABBCDABC的周长的周长▲▲已知△BCD的周长为24cm,∴△ABC之周长=24×34=32(cm)⑵∵9163422▲▲BCABSSBCDABC而S△ACD=S△ABC－S△BCD∴979916▲▲▲▲▲BCDBCDABCBCDACDSSSSS∴79▲▲ACDBCDSS(3)∵△BAC∽△BCD∴BDBCCDAC∵CD=12cm∴AC=CD×BDBC=12×34=16（cm）例3：在△ABC中，D为AB之中点，DE的延长线交BC延长线于F，求证：AE·CF=BF·EC分析：要证AE·ＣＥ＝ＢＦ·ＣＦ，就要证CFBFCEAE，可是题目中既没有平行线，而四条线段ＡＥ、CE、BF、CF又不同在两个三角形中，因此设法作辅助线，寻找中间比，实现比的过渡，以达到解题目的。故过点C作AB的平行线。解：过C作CM∥AB交EF于M，易得△ADE∽△CME，△CFM∽△BFD，∴CMADCEAE，∴CMBDCFBF，又BD=AD∴CFBFCEAE小结：本题通过作平行线，得到两对相似三角形，两个比例式，实现比的过渡，BPCED同学们要掌握这一技巧。例4．（2004年长沙）如图等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=600，P为下底BC上一点（不与B。C重合），AD=3cm，连接AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B（1）求证：△ABP∽△PCE（2）求等腰梯形的腰AB的长，（3）。在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由。分析：（1）要证△ABP∽△PCE，只要证一对角相等即可（2）由等腰梯形特征，构造直角三角形，（3）假设存在，利用（1）的结论，列方程求解解：（1）由∠APC为△ABP的外角得，∠APC=∠B+∠BAP，又∠B=∠APE∴∠EPC=∠BAP又∠B=∠C∴△ABP∽△PCE（2）过A作AF⊥BC于F，由已知ABCD为等腰梯形，AD=3，BC=7，BF=2cm在Rt△ABF中，∠B=600，BF=2cm，∴AB=4cm（3）存在这样的点P，理由如下：由DE：EC=5：3，DE+EC=DC=4，得EC=23cm，设BP=x，则PC=7—x，由△ABP∽△PCE，得ECBPPCAB，即2374X解之得x1=1，X2=6经检验都符合题意∴BP=1cm。或BP=6cmAF