6.2空间几何体的表面积与体积

第一章空间几何体第一章1．3空间几何体的表面积与体积第一章1．3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积第一章第1课时柱体、锥体、台体的表面积课前自主预习思路方法技巧名师辨误做答能力强化提升基础巩固训练课前自主预习温故知新初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图与表面积的关系，即展开的平面图形的面积等于其表面积，因此可以通过它们的平面展开图来求几何体的表面积．根据柱、锥、台体的结构特征，我们也可以利用它们的平面展开图计算它们的表面积．完成下列练习为求新知打下基础：1．棱长为a的正方体表面积为.2．长、宽、高分别为a、b、c的长方体，其面面积为3．长方体、正方体的侧面展开图为4．圆柱的侧面展开图为5．圆锥的侧面展开图为6a22(ab＋bc＋ac)．矩形．矩形．扇形．新课引入在人类的生存空间中存在着各种各样的几何体，有时为了工作，需要度量几何体的表面积和体积．如对建筑物装饰时，需要知道建筑物的表面积，以便计算用料和工时，为了计算建筑物的容纳量需计算建筑物的体积；又如在机械制造时，为了下料需计算物体的表面积等．例如粉碎机的下料斗是正四棱台形(如图所示)，它的两底面边长分别为80cm和440cm，高为200cm，制造这样一个下料斗需多少铁板？自主预习阅读教材P23－25，回答：1．柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的，如图a所示；圆柱的侧面展开图是，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图b所示．平行四边形底面周长矩形(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝，表面积S表＝2πrl2πr(r＋l)．[破疑点]表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小．把多面体展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．侧面积是指侧面的面积，与表面积不同．一般地，表面积＝侧面积＋底面积．(1)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为________．(2)圆柱OO′的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为________，表面积为________．[答案](1)72cm2(2)24π32π[解析](1)棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．(2)由已知得圆柱OO′的底面半径为2，则其侧面积S侧＝2πrl＝2×π×2×6＝24π，表面积S表＝2πr(r＋l)＝2π×2×(2＋6)＝32π.2．锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个拼成的，则侧面积为各个三角形面积的，如图a所示；圆锥的侧面展开图是，扇形的半径是圆锥的，扇形的弧长等于圆锥的，如图b所示．三角形和扇形母线底面周长(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝，表面积S表＝πrlπr(l＋r)．(1)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC(即正四面体S－ABC)，则其表面积为________．(2)一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形，则其表面积为________．[答案](1)3a2(2)34πa2[解析](1)由于四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍．先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．因为BC＝a，SD＝SB2－BD2＝a2－a22＝32a，所以S△SBC＝12BC·SD＝12a×32a＝34a2.因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×34a2＝3a2.(2)如上图所示，圆锥的底面半径r＝a2，母线长l＝a，则其表面积为S表＝πr(r＋l)＝π×a2(a2＋a)＝34πa2.规律总结：不要试图去总结、记忆几何体的表面积公式，而应该理解它是通过求各个面的面积的和而获得的．3．台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的，如图a所示；圆台的侧面展开图是扇形，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图b所示．梯形和(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，则侧面积S侧＝，表面积S表＝π(r＋r′)lπ(r2＋r′2＋rl＋r′l)．[破疑点]圆柱、圆锥、圆台的侧面积有如下关系：圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其表面积等于()A．72B．42πC．67πD．72π[答案]C[解析]S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.思路方法技巧学法指导求柱体表面积的方法(1)直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．(2)求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．(3)求圆柱的侧面积只需利用公式即可求解．柱体的表面积[例1]在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为()A.33ab4B.3＋22abC．(3＋2)abD.23＋22ab[答案]C[分析]棱柱的侧面积等于各侧面面积之和．[解析]如图，由已知条件可知：侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形，侧面BB1C1C为矩形．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∴BC＝2a.∴S矩形BCC1B1＝2a·b＝2ab.∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，∴点B到直线AA1的距离为asin60°＝32a.∴S▱AA1C1C＝b·32a＝32ab.∴S侧＝2×32ab＋2ab＝(3＋2)ab.圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为()A．6π(4π＋3)B．8π(3π＋1)C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1)D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)[答案]C[解析]圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确，因此进行分类讨论：①长为6π的边为母线时，4π为圆柱的底面周长，则2πr＝4π，即r＝2，∴S底＝4π，∴S表＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)；②长为4π的边为母线时，6π为圆柱的底面周长，则2πr＝6π，即r＝3.∴S底＝9π，∴S表＝S侧＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3).学法指导(1)求棱锥侧面积的一般方法：定义法．(2)求圆锥侧面积的一般方法：公式法：S侧＝πrl.锥体的表面积[例2]如图1，圆锥的底面半径为1，高为3，求圆锥的表面积．[解析]∵r＝1，h＝3，∴母线l＝3＋1＝2.∴圆锥的表面积S表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.已知一个四棱锥底面为正方形且顶点在底正方形为底射影为底面正方形的中心(正四棱锥)，底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积(单位：cm2)．[分析]利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解，然后代入公式．[解析]正棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴PE＝OEsin30°＝4(cm)．因此S棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)，S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2).学法指导(1)求棱台侧面积的一般方法：定义法．(2)求圆台侧面积的一般方法：公式法S侧＝2(r＋r′)l台体的表面积[例3]一个四棱台的上、下底面都为正方形，且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(正四棱台)两底面边长分别为1,2，侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为()A.23B．2C.32D.12[答案]A[分析]如图所示，设O1、O分别为棱台上、下底面中心，M1、M分别为B1C1、BC的中点，连接O1M1、OM，则M1M为斜高．过M1作M1H⊥OM于H点，则M1H＝OO1，S侧＝4×12(1＋2)·M1M，S上底＋S下底＝5.由已知得2(1＋2)·M1M＝5，∴M1M＝56.在Rt△M1HM中，MH＝OM－O1M1＝12.∴M1H＝O1O＝M1M2－MH2＝562－122＝23.规律总结：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是O1OMM1，二是O1OBB1.它们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解．已知圆台的母线长3，上、下底面半径分别是2、4，求圆台的表面积．[解析]S上＝π·22＝4π，S下＝π·42＝16π，S侧＝π(2＋4)×3＝18π，因此，圆台的表面积S圆台表＝S上＋S下＋S侧＝4π＋16π＋18π＝38π.探索延拓创新学法指导必须由三视图准确地还原几何体，再根据定义或公式求出几何体的表面积．[例4]若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图1，则其表面积等于________．[答案]6＋23[解析]通过三视图还原三棱柱直观图如图2，通过正视图可以得出该三棱柱底面边长为2，侧棱长为1，三个侧面为矩形，上下底面为正三角形，∴S表＝3×(2×1)＋2×34×22＝6＋23.(2011·安徽高考)一个空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为()A．48B．32＋817C．48＋817D．80[答案]C[解析]由三视图可知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，底面等腰梯形的上底边长为2，下底边长为4，高为4，两底面积和为2×12×(2＋4)×4＝24，四个侧面面积为4×(4＋2＋217)＝24＋817，所以几何体的表面积为48＋817.故选C.名师辨误做答[例5]如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为()A．6B．123C．24D．3[错解]由三视图知，该几何体是一个三棱柱，其底面是边长为3的正三角形，侧棱与底面垂直，侧棱长为4，故其侧面积S＝3×3×4＝123，故选B.[错因分析]错解没有弄清三视图对应规则，侧视图矩形的宽3，应是俯视图正三角形的一边上的高而不是边长．[正解]由三视图可知，该几何体是底面为正三角形、侧棱与底面垂直的三棱柱，由侧视图及俯视图可知，设底面正三角形边长为a，则32a＝3，∴a＝2，由正视图和侧视图知，该几何体高为4，∴其侧面积S＝2×3×4＝24，故选C.基础巩固训练1．棱长为a的正方体的表面积为()A．6a3B．a3C．6a2D．4a2[答案]C[解析]根据表面积的定义，组成正方体的表面共6个，且每个都是边长为a的正方形．从而，其表面积为6a2.2．棱长都是1的三棱锥的表面积为()A.3B．23C．33D．43[答案]A[解析]棱长都相等的三棱锥四个面均为等边三角形，也叫正四面体，故三棱锥的表面积为一个等边三角形面积的4倍，又边长为1的等边三角形面积为34，即三棱锥的表面积为3，故选A.3．用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，此圆柱的侧面面积为()A.2πB.8πC.4πD．8[答案]D[解析]圆柱的侧面积即为矩形的面积．4．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于()A．15B．15πC．24πD．30π[答案]B[解析]S侧＝πrl＝π×3×5＝15π.5．五棱台ABCDE－A1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积等于25，则两底面积的和等于()A．5B．25C．30D．55[答案]A[解析]S表＝S侧＋2S底，则2S底＝S表－S侧＝30－25＝5.6．六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于()A．12B．48C．64D．72[答案]D[解析]该六棱柱的6个侧面是全等矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.7．(2012－2013·广东佛山高三教学质量检测)若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于()A．6B．6πC．35πD．65π[答案]C[解析]圆台的两底面半径分别是1,2，高为2，则母线长为22＋1＝5，则其侧面积等于π(1＋2