第二章 逻辑代数基础

第二章逻辑代数基础学习要求：•掌握逻辑代数的基本概念，学会用逻辑函描述逻辑问题的基本方法；•掌握逻辑代数的公理、基本定理和重要规则；•学会用代数法化简逻辑函数；•熟练掌握用卡诺图化简逻辑函数。2.1逻辑代数的基本概念在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。2.1.1逻辑变量及基本逻辑运算逻辑变量：仅取值0或取值1的变量。这里0和1无大小之分，实际上代表着矛盾的双方或事件的真假，例如开关的接通与断开，电压的高和底，信号的有和无，电灯的亮和灭等等。只要是两种稳定的物理状态，都可以用0和1这两种不同的逻辑值来表征。一、或运算如果决定某一事件发生的多个条件，只要有一个或一个以上的条件成立，事件便可发生，这种因果关系称之为或逻辑。或运算又称逻辑加:F=A+B读作F等于A或B,其中A、B是参加运算的两个逻辑变量，F为运算结果。意思是：只要A、B中有一个为1，则F为1；仅当A、B均为0时，F才为0。ABF000011101111“或”运算表（真值表）A+uBF运算法则0+0=01+0=10+1=11+1=1两个开关只要有一个接通，灯就会亮。二、与运算如果决定某一事件的发生的多个条件必须同时具备，事件才能发生，这种因果关系称为与逻辑。与运算又称逻辑乘F＝AB读作F等于A与B，意思是若AB均为1，则F为1；否则F为0。ABF000010100111与运算表+uABFA、B都接通，灯亮。A、B都断开，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。运算法则00=010=001=011=1例：开关A，B串联控制灯泡Y三、非运算如果某一事件的发生取决于条件的否定，则这种因果关系称为非逻辑。非运算又称求反运算，运算符为－F=A读作F等于A非，意思是若A＝0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。“非运算表0110AF0110+uAF运算法则2.1.2逻辑函数一、逻辑函数的定义设某一电路的输入逻辑变量为A1,A2,…,An,输出逻辑变量为F。如果当A1,A2,…,An的值确定后，F的值就唯一地被定下来，则F称为A1,A2,…,An,的逻辑函数，记为F=f(A1,A2,…,An)•逻辑电路的功能可由相应逻辑函数完全描述。•与普通函数概念相比逻辑函数有如下特点：1）逻辑变量与逻辑函数的取值只有0和1；2）逻辑函数与逻辑变量的关系由“或”、“与”、“非”运算决定。二、逻辑函数的相等设有两个逻辑函数F1=f1(A1,A2,…,An)F2=f2(A1,A2,…,An)若对应于A1,A2,…,An的任何一组取值,F1和F2的值都相同,则称函数F1和函数F2相等,记作F1=F2.的或非读作ABBA；非或读作＋BAAB非；或读作＋BAAB非；非或读作＋BAAB的与非；读作ABAB；非与读作BAAB非；与读作BAAB2.1.3逻辑函数的表示法一、逻辑表达式由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。•进行非运算可不加括号,如.等BA，A•与运算符一般可省略,AB可写成AB.•可根据先与后或的顺序去括号,如：(AB)＋(CD)＝AB＋CD例：BABABAF),(逻辑表达式书写省略规则：公理1交换律A+B=B+A,AB=BA公理2结合律(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)公理3分配律A+(BC)=(A+B)(A+C),A(B+C)=AB+AC公理40－1律A+0=A,A1=AA+1=1,A0=0，公理5互补律A+A=1,AA=02.2逻辑代数的公理、定理和规则2.2.1逻辑代数的公理和基本定理基本定理定理10＋0＝01＋0＝10＋1＝11＋1＝100＝010＝001＝011＝1推论：1=00=1定理2(自等律)A＋A＝AAA＝A定理3(吸收律)A＋AB＝AA(A+B)＝A定理4(吸收律)A＋AB＝A+BA(A+B)＝AB定理5(非非律)A＝A定理6(摩根定理)A＋B＝ABAB＝A＋B定理7AB+AB＝A(A+B)(A+B)＝A定理8(冗余律)AB+AC+BC＝AB+ACf(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝12.2.2逻辑代数的重要规则一、代入规则任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由公理5(A+A=1)同样有等式二、反演规则F＝(A+B)(C+D)例如：已知F＝AB＋CD，根据反演规可得到:如果将逻辑函数F中所有的变成+,+变成,0变成1,1变成0,原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得到的新函数是原函数的反函数F注意：保持原函式中运算符号的优先顺序不变，两个以上变量的公用非号保持不变。例如：已知则),(EDCBAF)]([EDCBAFEDCBAF三、对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”,“+”变成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,而逻辑变量保持不变，则得到F的对偶式F'。F与F'互为对偶式。求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。对偶规则：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F'和G'也相等。例:AB+AC+BC=AB+C则(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙C2.3.1逻辑函数的表示法一、逻辑表达式由逻辑变量、常量和逻辑运算符构成的合法表达式。•进行非运算可不加括号,如.等BA，A•与运算符一般可省略,AB可写成AB.•可根据先与后或的顺序去括号,如：(AB)＋(CD)＝AB＋CD例：BABABAF),(逻辑表达式书写省略规则：2.3逻辑函数表达式的形式与变换二、真值表真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格.例如：函数F=AB+AC的真值表如右所示：ABCF00000011010001111001101111001110ABCDY0000100010001010011101000010110110001111ABCDY1000110011101011011111001110111110111111四输入变量，16种组合n个变量可以有2n个组合，一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。三、卡诺图卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能组合的小方格所构成的平面图，一种用图形描述逻辑函数的方法。在逻辑函数化简中起到非常重要的作用。2.3.2逻辑函数表达式的基本形式两种基本形式：积之和表达式与和之积表达式.“积之和”“与或式”：由若干个与项相或构成CBAABBF例如：“和之积”“或与式”：由若干个或项相与构成))()((DBACBBAF例如：))((CDBADABF既不是与或表达式也不是或与表达式。而2.3.3逻辑函数表达式的标准形式一、最小项如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项。假如一个函数完全由最小项所组成,那么该函数表达式称为标准“积之和”表达式,即“最小项之和”。例：F（A,B,C）=ABCCABBCACBA变量的各组取值ABC000001010011100101110111对应的最小项及其编号最小项编号CBACBACBACBACBACBACBACBAom1m2m3m4m5m6m7m三变量函数的最小项：3个变量A、B、C可组成8(23)个最小项4个变量可组成16(24)个最小项,记作m0～m15CA2BmCmBA1真值表中，只要将函数值为1的那些最小项（“积”项的原变量记为1，反变量记为0）相加，便是函数的最小项表达式。ABCY最小项00000101001110010111011101110100m0m1m2m3m4m5m6m7CABCBCmmmmmYBACABA)5,3,2,1(5321BCmA3CAmB5=m2+m3+m6+m7注意：变量的顺序.ABCCABBCACBACBAF),,(因=m(2,3,6,7)ABCCABBCACBACBAF),,(：例如最小项的性质：1）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。2）任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。3）相邻最小项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。N个变量构成的每一个最小项都有n个相邻最小项。一对相邻最小项可以消去一个变量。CBAACBCABCBA)(任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。逻辑函数的最小项表达式二、最大项如果一个具有n个变量的函数的和项包含全部n个变量，每个变量都以原变量或反变量形式出现，且仅出现一次，则这个和项称为最大项。假如一个函数完全由最大项组成，那么这个函数表达式称为标准和之积表达式。变量的各组取值ABC000001010011100101110111对应的最大项及其编号最大项编号CBACBACBACBACBACBACBACBAoM1M2M3M4M5M6M7M三变量函数的最大项：注意：变量顺序.))()()((),,(CBACBACBACBACBAF5410MMMM例如：)5,4,1,0(M如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为0的那些最小项相乘，便是函数的最大项表达式。见表2.6。最大项的性质：当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。逻辑函数的最大项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最大项之和，称为标准或与表达式，也称为最大项表达式。三、两种标准形式的转换：以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。ABCCABBCACBACBAF),,(：例如=m(2,3,6,7)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)ABCCABBCACBAFF=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C))5,4,1,0(MF(A,B,C)=m(0,1,4,5))7,6,3,2(M同理iiimMmMi或即：最大项与最小项互补。例如：M3=A+B+C=ABC=m32.3.4逻辑函数表达式的转换根据逻辑表达式，可以画出相应的逻辑图，表达式的形式决定门电路的个数和种类。在用电子器件组成实际的逻辑电路时，由于选择不同逻辑功能类型的器件，因此需要将逻辑函数式变换成相应的形式。任何一个逻辑函数，总可以将其转换成最小项之和及最大项之积的形式,常用代数转换法或真值表转换法.一、代数转换法用代数法求一个函数最小项之和的形式，一般分为两步：第一步：将函数表达式变换成一般的与或式.第二步：反复使用X=X(Y+Y)将非最小项的与项扩展为最小项。例：将F(A,B,C)=(AB+BC)AB转换成最小项之和形式ABCBBACBAF),,(1、解：ABCBBAABCBBA))((ABBCCABA)()()(),,(2AABCBBCACCBACBAF、)(CCABABCCBABCACBACBACABABCBCAABCCABBCACBACBAF(A,B,C)=m0+m1+m3+m6+m7=Σm(0,1,3,6,7)类似地，用代数法求一个函数最大项之积的形式，也可分为两步：第一步：将函数表达式转换成一般或与式；如果给出的函数已经是与或式或者是或与式，则可直接进行第二步。第二步：反复使用将非最大项的或项扩展成为最大项))((BABAA例：将F(A,B,C)=AB+AC转换成“最大项之积的