(天津专用)2018版高考数学总复习专题06数列分项练习理.

1专题06数列一．基础题组1.【2005天津，理13】在数列{}na中，11a，22a且*211nnnaanN则100S__________。【答案】2600【解析】当为奇数时，20nnaa；当为偶数时，22nnaa因此，数列{}na的奇数各项都是1，偶数项成公差为2的等差数列210010011505021005050260022aaSaa本题答案填写：26002.【2006天津，理7】已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于（）A．55B．70C．85D．100【答案】C3.【2006天津，理16】设函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAA，n是na与的夹角，（其中0,1i），设nnStantantan21，则nnSlim=．【答案】1【解析】设函数11xxf，点0A表示坐标原点，点*,NnnfnAn，若向量01121nnnaAAAAAA=0nAA，n是na与的夹角，111tan(1)nnnnn（其中0,1i），设nnStantantan21111111223(1)1nnn，则2nnSlim=1．4.【2007天津，理8】设等差数列na的公差d不为019ad.若ka是1a与2ka的等比中项，则k()A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】5.【2007天津，理13】设等差数列na的公差d是2，前项的和为,nS则22limnnnanS__________.【答案】3【解析】根据题意知11(1)222naanna21,(1)nSnna代入极限式得22112134(2)(2)lim3(1)nnananna6.【2008天津，理15】已知数列na中，*31,1111Nnaaannn，则nnalim.【答案】76【解析】22111211111()13())33(nnnnnnnaaaaaaaa所以2173lim11613nna.7.【2009天津，理6】设a＞0,b＞0.若3是3a与3b的等比中项,则ba11的最小值为（）A.8B.4C.1D.41【答案】B【解析】3是3a与3b的等比中项3a·3b＝33a+b＝3a+b＝1,∵a＞0,b＞30,∴41212abbaab.∴4411111ababbaba.8.【2010天津，理6】已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1na的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158【答案】C∴9S3＝S3＋S3·q3得q3＝8，解得q＝2.∴{1na}是首项为1，公比为12的等比数列．∴其前5项和为511[1()]312116129.【2011天津，理4】已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前项和，*nN，则10S的值为A．-110B．-90C．90D．110【答案】D.【解析】∵2,9327daaa，∴)16)(4()12(1121aaa，解之得201a，4∴110)2(2910201010s.10.【2014天津，理11】设{}na是首项为1a，公差为1-的等差数列，nS为其前项和．若124,,SSS成等比数列，则1a的值为__________．【答案】12．【解析】试题分析：依题意得2214SSS=，∴()()21112146aaa-=-，解得112a=-．考点：1．等差数列、等比数列的通项公式；2．等比数列的前项和公式．11.【2017天津，理18】（本小题满分13分）已知{}na为等差数列，前n项和为()nSnN，{}nb是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312bb，3412baa，11411Sb．（Ⅰ）求{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}nnab的前n项和()nN．【答案】（Ⅰ）32nan，2nnb；（Ⅱ）1328433nn．由3412baa，可得138da①．由114=11Sb，可得1516ad②，联立①②，解得11a，3d，由此可得32nan．所以，数列{}na的通项公式为32nan，数列{}nb的通项公式为2nnb．5所以，数列221{}nnab的前项和为1328433nn．【考点】等差数列、等比数列、数列求和【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和．二．能力题组1.【2005天津，理18】已知：1221*,0,0nnnnnnuaabababbnNab。（Ⅰ）当a=b时，求数列{na}的前n项和nS；（Ⅱ）求1limnnnuu。【答案】（Ⅰ）若1a，21221221nnnnanaaaSa,若1a，则32nnnS（Ⅱ）当1q时，，1limnnnuau,当1q时，1limnnnubu【解析】解：（I）当ab时，1nnuna，它的前项和232341nnSaaana①①两边同时乘以，得23412341nnaSaaana②6当ab时，设bqa（1q），则：12111nnnnnaquaqqqq此时：1111nnnnaquuq当1q时，即ab时，111limlimlim1nnnnnnnuqaauq当1q时，即ab时，111111limlimlimlim11nnnnnnnnnnaquqaaqbuqqq2.【2006天津，理21】已知数列nnyx,满足2,12121yyxx，并且1111,nnnnnnnnyyyyxxxx（为非零参数，,4,3,2n）．（1）若531,,xxx成等比数列，求参数的值；（2）当0时，证明*11Nnyxyxnnnn；当1时，证明*11332222111Nnyxyxyxyxyxyxnnnn.【答案】（1）1.（2）（I）详见解析，（II）详见解析7（III）证明：当1时，由（II）可知).(1*Nnxynn又由（II）),(*11Nnyxyxnnnn则,111nnnnnnxxyxxy从而).(*1111Nnxxxyxynnnnnnn因此.111)1(1)1(1111133222211nnnnnnyxyxyxyxyxyx3.【2012天津，理18】已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．【答案】(1)an＝3n－1，bn＝2n，(2)详见解析【解析】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．8由条件，得方程组3323227,86210,dqdq解得3,2.dq所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．(方法二：数学归纳法)①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；②假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．由①和②，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．4.【2013天津，理19】已知首项为32的等比数列{an}不是．．递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn＝1nnSS(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．【答案】（Ⅰ）13(1)2nnna；（Ⅱ）最大项的值为56，最小项的值为712.【解析】解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，9即4a5＝a3，于是25314aqa.故11113250236nnSSSS.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34＝S2≤Sn＜1，故221134704312nnSSSS.综上，对于n∈N*，总有715126nnSS.所以数列{Tn}最大项的值为56，最小项的值为712.5.【2014天津，理19】已知和均为给定的大于1的自然数．设集合{}0,1,2,1,qM=-，集合{}112,,1,2,,nniAxxxxqxqxMin-+?==++．（Ⅰ）当2q=，3n=时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设,stAÎ，112nnsaaqaq-=+++，112nntbbqbq-=+++，其中,,1,2,,.iiabMin?证明：若nnab，则st．【答案】（Ⅰ）{}0,1,2,3,4,5,6,7A=；（Ⅱ）详见试题分析．【解析】试题分析：（Ⅰ）当2,3qn==时，{}{}21230,1,22,,1,2,3,iMAxxxxxxMi===+?孜=采用列举法可得集合{}0,1,2,3,4,5,6,7A=；（Ⅱ）先由已知写出及的表达式：10112nnsaaqaq-=+++，112nntbbqbq-=+++，再作差可得()()()()21112211nnnnnnstababqabqabq-----=-+-++-+-，放缩()()()121111110,1nnnnqqqqqqstq------+--=-=-\-．考点：1．集合的含义与表示；2．等比数列的前项和公式；3．不等式的证明．6.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}na满足212()*,1,2nnaqaqqnNaa为实数，且1，，且233445,,aaaaaa+++成等差数列.(I)求的值和{}na的通项公式；(II)设*2221log,nnnabnNa，求数列{}nb的前项和.【答案】(I)1222,2,.nnnnan为奇数,为偶数;(II)1242nnnS.【解析】(I)由已知，有()()()()34234534aaaaaaaa+-+=+-+，即4253aaaa，所以23(1)(1)aqaq，又因为1q，故322aa，由31aaq，得2q，当21(*)nknN时，1122122n