三视图与展开图

(学P93)第25讲三视图与展开图第五章基本图形(二)第二篇图形与几何1．三视图：(1)主视图：从看到的图；(2)左视图：从看到的图；(3)俯视图：从看到的图．正面左面上面2．画“三视图”的原则：(1)如图，长对正，高平齐，宽相等；(2)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．3．判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型．4．正方体的平面展开图：(1)一四一型(2)二三一型(3)三三型(4)二二二型5．直棱柱：直棱柱侧面展开图是矩形，能根据展开图判断和制作立体模型．6．圆柱：圆柱可以看做由一个矩形绕它的一条边旋转一周时，其余各边所成的面围成的一个几何体．和转轴平行的一条边旋转所成的面就是圆柱的．这条边不论转动到哪一个位置，都叫圆柱的．圆柱的侧面展开图是一个矩形，它的一组邻边长分别等于母线长和底面圆的周长．侧面母线lr圆柱的侧面积S侧＝2πrl.圆柱的全面积S全＝2πr2＋2πrl.7．圆锥的侧面展开图：圆锥可以看做将一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体，斜边旋转所成的面就是圆锥的侧面．无论转到什么位置，这条斜边都叫做圆锥的．圆锥的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周长2πr.扇形的圆心角θ＝·360°，圆锥的侧面积S侧＝πrl，圆锥的全面积S全＝πr2＋πrl.母线8．注意点：圆锥的侧面是一个扇形，因而其面积是一个扇形的面积，其扇形的半径是圆锥的母线，弧长是底面的周长．在求圆锥侧面积或全面积的时候，常需要借助于它的展开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关系．三个等量关系(如图)①展开图扇形的弧长＝圆锥下底的周长；②展开图扇形的面积＝圆锥的侧面积；③展开图扇形的半径＝圆锥的母线．转化思想：将立体图形转化为平面图形，求几何体的侧面积、表面积、立体图形表面上最短路程等．(学P94)1．(2014·德州)图甲是某零件的直观图，则它的主视图为()A2．如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是()A．四面体B．直三棱柱C．直四棱柱D．直五棱柱B3．(2014·无锡)已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是()A．20πcm2B．20cm2C．40πcm2D．40cm24．(2013·山西)如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是()AA5．(2012·衢州)长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为()A．3B．4C．12D．16A【问题】如图，下列四个几何体是水平放置．(1)这四个几何体中，主视图与其他三个不相同的是________；(2)图(1)的直三棱柱，底面是边长为2的正三角形，高为4，则此直三棱柱的侧面展开图的面积______；(3)图(2)的圆柱，底面半径为2，高为4，则此圆柱左视图的面积________．【解析】(1)的主视图为长方形；(2)的主视图为长方形；(3)的主视图为长方形；(4)的主视图为三角形．故主视图与其他三个不相同的是(4)．(2)侧面展开图是矩形，侧面积为6×4＝24；(3)左视图的面积4×4＝16.【归纳】复习简单几何体的三视图、展开图．类型一判断(画)几何体的三视图例1下列几何体中，俯视图相同的是()A．①②B．①③C．②③D．②④【思路分析】①的三视图中俯视图是圆，但无圆心；②③的俯视图都是圆，有圆心，故②③的俯视图是相同的；④的俯视图是圆环．【答案】②③的俯视图都是圆，有圆心，故选C.【解后感悟】掌握从不同方向看物体的方法和画几何体三视图的要求，通过仔细观察、比较、分析，可选出正确答案．1．(2013·绍兴)由5个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是()【解析】从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：1，1，2.C类型二由三视图判断原几何体的形状例2(2013·南宁)如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是()A．3B．4C．5D．6B【思路分析】从主视图来看，各个位置的小正方体个数用1，2表示；从左视图来看，各个位置的小正方体个数用①②表示，在同一方格中取最小的数即为该位置正方体的个数，为2＋1＋1＝4.【解后感悟】由三视图确定小正方体的个数，往往需要把三个视图组合起来综合考虑，求解时先根据左视图和主视图，在俯视图中标出每个位置上小立方块的个数，便可得到组成的小单元——正方体的个数．(学P95)2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是()A．18cm2B．20cm2C．(18＋2)cm2D．(18＋4)cm233A【解析】根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，底边边长为2cm，侧棱长是3cm，所以侧面积是：(3×2)×3＝6×3＝18(cm2)．3．(2014·呼和浩特)如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为()B【解析】观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内径为3，外径为4，高为10，所以其体积为10×(42π－32π)＝70π.A．60πB．70πC．90πD．160π类型三立体图形的展开与折叠例3如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是()【思路分析】将A、B、C、D分别展开，能和原图相对应的即为正确答案．A项展开得到不能和原图相对应，故本选项错误；B项展开得到能和原图相对，故本选项正确；C项展开得到不能和原图相对应，故本选项错不能和原图相对应，误；D项展开得到故本选项错误．故选B.【解后感悟】常见几何体的展开与折叠：①棱柱的平面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，按棱柱表面不同的棱剪开，可能得到不同组合方式的平面展开图，特别关注正方体的表面展开图；②圆柱的平面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的；③圆锥的平面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的．【答案】B4．(2013·钦州)下列四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是()B5．(2014·河北)如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是()A．0B．1C.D.B23类型四圆柱(锥)侧面积和全面积的计算例4(2013·湖州)在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积为()A．4πB．3πC．2πD．2π【思路分析】首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为S侧＝·2πr·l＝πrl，代入数进行计算即可．21【答案】圆锥的母线长为＝3，则圆锥的侧面积＝π×1×3＝3π，故选B.【解后感悟】此题是圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积公式：S侧＝·2πr·l＝πrl.22)22(1226．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得的几何体的表面积为()A．4πB．4πC．8πD．8πD222类型五几何体的综合运用例5如图是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请求出这个路线的最短路程．【思路分析】根据三视图的对应情况可得出几何体是圆锥，进而对应寻找圆锥、三视图、展开图的对应关系即可．【答案】(1)圆锥体．(2)S圆锥侧＝πrl＝π×2×6＝12π，S底面＝πr2＝π×22＝4π，∴这个几何体的表面积是16π平方厘米．(3)∵θ＝×360°＝×360°＝120°，∴∠BAC＝60°，∠ABD＝30°，∴AD＝AB＝3，BD＝.答：这个路线的最短路线是3厘米．lr622133=－22ADAB3【解后感悟】将立体图形与平面图形对照来看，将所给的数据标注到立体图形上，本题正确恢复原几何体是解决问题的关键，体现空间想象能力．(学P96)7．(2014·潍坊)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是尺．25【解析】如图，一条直角边(即木棍的高)长20尺，另一条直角边长5×3＝15(尺)，因此葛藤长＝25(尺)．2220+158．(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm.【解析】如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连结A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝20(cm)．20222216+12=+'BDDAA．18B．54C．108D．2163(学P87)【课本改变题】教材母题——浙教版九下第76页例题【试题】(2013·杭州)如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积是()【分析与解】由三视图可看出：该几何体是一个正六棱柱，其中底面正六边形的边长为6，高是2，所以该几何体的体积＝6××62×2＝108.故选C.433333【方法与对策】由三视图求原几何体的体积，正确恢复原几何体是解决问题的关键．这类题是中考热点题型，平时学习中也要注意平面图形和空间图形的转化．分不清三视图中的实线与虚线．【问题】一个空心的圆柱如图所示，那么它的主视图是()【分析】错误答案是D.根据主视图的定义，从前面看，得出图形是一个矩形(它里面含一个看不见的小矩形)，再区分是实线还是虚线．即选项A的图形．故选A.【正解】A1．如图的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，则它的俯视图是()D第1题图2．如图，一个几何体上半部分为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是()B第2题图3．如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体是．圆柱第3题图4．如图是一个上下底密封纸盒的三视图，根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为cm2(结果可保留根号)．第4题图360375