复数的应用

复数在初等数学中的应用摘要：本文介绍了复数的一些基本概念、性质、运算等。利用复数的性质来解决初等数学的基本问题，例如代数、几何向量等。一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。关键字：共轭复数；复数的模；复平面；复数方程分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginarynumberunit.所以，用“i”来表示这个新数。引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？规定它的平方等于-1，即12i因此出现了形如biaz（Rba,）的数。它就是我们所说的复数。一、复数的有关概念1、虚数单位i（1）它的平方等于1，即2i1；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．i的乘方：4414243*i1,ii,i1,ii,Nnnnnn，它们不超出ib的形式2、复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。3、根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+didbca,.由这个定义得到a+bi=00,0ba.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。4、复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。性质：zz；2121zzzz；1121zzzz；);0()(22121zzzzz5、在复平面内，复数izab对应点(,)Zab，点Z到原点的距离z叫做复数z的模，记作z．由定义知，22zab二、复数的表示1、代数形式。biaz实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部2、几何形式。复数z=a+bi被复平面上的点z(a，b)唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。3、向量形式。复数biaz用一个以原点O为起点，点Z(a，b)为终点的向量z表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。4、三角形式。复数biaz化为三角形式)sin(cosirz式中22bar)，是复数的模(即绝对值)θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作)arg(z这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。5、指数形式。将复数的三角形式)sin(cosirz中的sincosi换为ier，复数就表为指数形式。三、复平面及复数的坐标表示1、复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是a，纵坐标是b，复数izab可用点(,)Zab来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．2、复数的坐标表示点(,)Zab3、复数的向量表示向量oz．4、复数的模在复平面内，复数izab对应点(,)Zab，点Z到原点的距离z叫做复数z的模，记作z．由定义知，22zab．四、复数的运算1、加法(i)(i)()()iabcdacbd．几何意义：设1izab对应向量),(1baoz，2izcd对应向量),(2baoz，则12zz对应的向量为),(21dbcaozoz．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2、减法(i)(i)()()iabcdacbd．几何意义：设1izab对应向量),(1baoz，2izcd对应向量),(2baoz，则12zz对应的向量为),(21dbcaozoz．2212()()i()()zzacbdacbd表示1Z、2Z两点之间的距离，也等于向量21zz的模．3、乘法abicdiacbdi.4、乘方mnmnzzz()mnmnzz1212()nnnzzzz5、除法22abicdiacbdbcadiabiabicdicdicdicdicd.6、复数运算的常用结论(1)222(i)2iababab，22(i)(i)ababab(2)2(1i)2i，2(1i)2i(3)1ii1i，1ii1i(4)1212zzzz，1212zzzz，1122zzzz，zz．(5)2zzz，zz(6)121212zzzzzz(7)1212zzzz，1212zzzz，nnzz7、复数的平方根与立方根（1）平方根若2(i)iabcd，则iab是icd的一个平方根，(i)ab也是icd的平方根．（1的平方根是i．）（2）立方根如果复数1z、2z满足312zz，则称1z是2z的立方根．1的立方根：21,,．13i22，213i22，31。210．1的立方根：13131,i,i2222zz五、复数方程1、常见图形的复数方程（1）圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)设),(yxZ以),(000yxZ为圆心，)0(rr为半径的圆上任意一点0zzr（0r，0z为常数），表示以点0Z为圆心，r为半径的圆（1）线段12ZZ的中垂线：12zzzz（其中12,zz分别对应点12,ZZ）（2）椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于21ZZ)的点的集合(轨迹)设),(yxZ是以),(211yxZ),(222yxZ为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点,122zzzza（其中0a且122zza），表示以12,zz对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a的椭圆（3）双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于常数(小于21ZZ)的点的集合(轨迹)设),(yxZ是以),(211yxZ),(222yxZ为焦点，2a为实轴长的双曲线的上任意一点,122zzzza（其中0a且122zza），表示以12,zz对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a下面请看复数在初等数学中代数、几何、向量中的一些应用代数方面1、求方程32x的实数解。解：在复平面上方程32x的解，是以（2，0）为圆心，3为半径的园。此圆与实轴的交点是（-1,0），（5,0）。所以实数解是x=-1,x=5.2、解不等式03422xx解：变不等式为5)1(22x，即2101x，在复平面上2101x的解是以1为半径，210为半径的圆。此圆与实轴交于2101和1210所以不等式的解是x210112103、解不等式1323xx6解：令z=3x,在复平面上，12zz6的解，是以2，-1为焦点，长轴为3的椭圆内所有复数。椭圆的中心是（21，0）与实轴的交点是（0,212）和（0,213）所以在实数域2123x213,即不等式的实数解是6565x4、求证：22ab+22(1)ab+22(1)ab+22(1)(1)ab22.证明：设1zabi,2(1)zabi,3(1)zabi,4(1)(1)(,)zabiabR22ab+22(1)ab+22(1)ab22(1)(1)ab=|1z|+|2z|+|3z|+|4z||1z+2z+3z+4z|=|abi+(1)abi+(1)abi+(1)(1)abi|=|2+2i|=225、若实数x,y,z满足等式x+y+z=a,222xyz=22a(a0).求证：0x23a,0y23a,.0z23a.证明：由已知可得：222221zayxzayx令1zxyi，2zyxi由|1z+2z||1z|+|2z|得；2|xy|222xy整理可得：2|az|2222az222212(2)4()2aazzaz由此可得：203za同理可证：203xa，203za6、已知11sinsin,coscos43，求tan()的值.解：设12cossin,cossinzizi21zz＝1，122zz121134zzi，izz413121因212121))((zzzzzz所以2524741314131212121iizzzzzz即724cos()sin()2525ii所以24247tan()252577、证明:sin8773sin72sin7.方程710x的根是,6,5,4,3,2,1,0,72sin72coskkikxk证明：由题可知3425160,,,1xxxxxxx7654321(1)(1)xxxxxxxx))()()()()()((165432107xxxxxxxxxxxxxxx所以))()()()()((165432123456xxxxxxxxxxxxxxxxxx=))()((321xxxxxx)(3xx)(2xx)(1xx=])([11112xxxxxx])([22222xxxxxx])([33332xxxxxx=222246(2cos1)(2cos1)(2cos1)777xxxxxx.令1x则有24678(1cos)(1cos)(1cos)7772222238sinsinsin777.故237sinsinsin7778.8、求证：1sincos22xx证明：1sin0cos)sin()cos(sincossincossincosxixixxixxixxix9、不差表计算52cos5cos解令xixzsincos,xixzsincos则，1zz，212cos2zzzx，zizizzx212sin2，则52cos5cos=2422121zzz=222342)1(zzzzzz=21)1(2)1(25zzz=21所以52cos5cos=2110、解方程1cossin3xx解：原方程即1212)1(322zzziz整理可得，0)3(2)3(2izizi，解得，izz2321,1有复数的定义知1cosx或23sin,21cosxx所以32,2kxkx复数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手：(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1－z2|的几何意义是复平面上的点Z1、Z2两点间的距离．(2)复数z、复平面上的点Z及向量OZ→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔oz.