行程问题讲解

分式方程的应用——用图表法解工程、行程应用题（1）西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为65km/h，一列快车从武汉开出，速度为85km/h，两车同时相向而行，几小时相遇？西安(慢车)（快车）武汉慢车路程快车路程等量关系：慢车路程＋快车路程＝总路程相遇问题慢车路程快车路程等量关系：慢车路程＋快车路程＝总路程相遇问题（1）解：设两车相遇时间为x小时，依题意得：慢车路程为：65x千米快车路程为：85x千米总路程：1500千米65x+85x=1500解得：x=10答：两车相遇时间为10小时（2）西安站和武汉站相距1500km，一列慢车从西安开出，速度为60km/h，一列快车从武汉开出，速度为90km/h，若两车相向而行，慢车先开5小时，快车行驶几小时后两车相遇？西安(慢车)（快车）武汉慢车先行路程快车路程等量关系：（慢车先行路程＋慢车后行路程）＋快车路程＝总路程慢车后行路程相遇问题相遇问题（2）解：设快车行驶x小时后两车相遇，依题意得：慢车路程为：60×5+60x千米快车路程为：90x千米总路程：1500千米（60×5+60x）+90x=1500解得：x=8答：快车行驶8小时后两车相遇慢车先行路程快车路程等量关系：（慢车先行路程＋慢车后行路程）＋快车路程＝总路程慢车后行路程（1）两匹马赛跑，如果黄色马的起点在黑色马起点前方10m处，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，同时起跑，棕色马需要几秒才能追上黄色马？棕色马路程追及问题10m＝黄色马路程＋相隔距离（2）两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s，棕色马的速度是7m/s，如果让黄马先跑5m，棕色马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？追及问题（2）解：设棕色马t秒钟追上黄色马，依题意得：6t+5×6=7t解得t=30答：棕色马30秒钟可以追上黄色马。常见的追及问题及其等量关系：同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程追者走的路程前者先走前者后走追上同时不同地出发：前者的路程+两地间隔的路程=追者的路程甲追上乙追者间隔前者60x+65x=48060x+65x=620-48060x+480=65x例1甲乙两地相距180千米,一辆卡车和一辆客车分别以50千米/小时和40千米/小时的速度从两地同时出发,相向而行,问几小时后两车相遇?解：设经过X小时后两车相遇。甲乙50X千米180千米40X千米则有50X+40X=180解得X=2答：经过2小时后两车相遇。相遇例2甲乙两地相距180千米,一辆卡车和一辆客车分别以50千米/小时和40千米/小时的速度从两地出发,相向而行,若卡车早出发1小时,则问卡车再过几小时两车相遇?解：设卡车再经过X小时后两车相遇。50X千米180千米40X千米则有50+50X+40X=180甲乙50千米相遇例3小明每天早上要在7:30分之前赶到距家1000米的学校上学.一天,小明以80米/分的速度出发,5分钟后,小明的爸爸发现他忘了带数学书.于是,爸爸立即以180米/分的速度去追小明,并且在途中追上他,问爸爸追上小明用了多长时间?则有5×80+80X=180X家学校追上小明5分钟走的路程小明在爸爸追时走的路程爸爸追赶小明时走的路程追上时,距学校还有多远?解得X=4280千米例。运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分250m．两人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得350x-250x=400解得：x=4答：经过4分钟甲、乙相遇。分析：圆形跑道中的规律：快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝1圈(第1次相遇)快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝2圈(第2次相遇)快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝3圈(第3次相遇)……….变式练习运动场跑道周长400m，小红跑步的速度是爷爷的5/3倍，他们从同一地点沿同一方向出发，5min后小红第一次追上爷爷。你知道他们的跑步速度吗？本题中的等量关系是，小红第一次追上爷爷时，小红跑的路程－爷爷跑的路程=400m当小红第一次追上爷爷时，他们所跑的路程可以用示意图表示：小红跑的路程爷爷跑的路程400m例4一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．顺水航行速度=水流速度+静水航行速度．逆水航行速度=静水航行速度－水流速度．解：设船在静水中的平均速度为x千米/小时，则船顺水的速度为(x+3)千米/小时，而逆水的速度为(x-3)千米/小时。则依题意可得：2（x+3）=2.5（x-3）解得：x=27答：该船在静水中的速度为27千米/小时。行程问题-——航行问题练习：一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟，逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里，求两城之间的距离？等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。答：两城之间的距离为3168公里注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速逆风飞行速度=飞机本身速度－风速依题意得：24245.56xxx=3168解：设两城之间距离为x公里，则顺风速为公里/小时，逆风速为公里/小时5.5x6x例2（追及问题）跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？例2（追及问题）跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？分析：我们需要求的是快马多少天可以追上慢马，我们可以先设快马x天可以追上慢马；则可以通过列表求解：速度时间路程快马：慢马：240150xx+12240x150(x+12)在这个问题中，两者走的路程应该是相同的；【合作探究】甲每天生产某种零件80个,甲生产3天后,乙也加入生产同一种零件,再经过5天,两人共生产这种零件940个,问乙每天生产这种零件多少个?可以用示意图来分析本题中的数量关系:前3天甲生产零件的个数后5天生产零件的个数甲生产零件的个数乙生产零件的个数940个相等关系:前3天甲生产零件的个数+后5天甲生产零件的个数+后5天乙生产零件的个数=940工程问题的基本关系是:工作量=工作效率×工作时间甲每天生产某种零件80个,甲生产3天后,乙也加入生产同一种零件,再经过5天,两人共生产这种零件940个,问乙每天生产这种零件多少个?解：设乙每天生产这种零件x个依等量关系可得方程80×3+80×5+5x=940解方程，得240+400+5x=940640+5x=9405x=300x=60答：乙每天生产这种零件60个.变式：若甲单独生产3天后，乙才加入合作，再经过5天完成了生产940个零件的任务，且甲每天比乙少生产32个零件，求甲、乙每天各生产多少个零件？解：设设甲每天生产x个零件，则乙生产x+32个依题意可得方程3x+5x+5（x+32）=940解方程，得13x+160=94013x=780x=6060+32=92个答：甲、乙每天分别各生产零件60个和92个。【拓展提高】某装潢公司接到一项业务，如果由甲组做需10天完成，由乙组做需15天完成，为了早日完工，现由甲、乙两组一起做，4天后甲因另有任务，余下部分由乙组单独做，问还需几天才能完成？分析：题中的工作总量可设为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，画出图示。课内练习1.某装潢公司接到一项业务,如果由甲组做需10天完成,由乙组做需15天完成.为了早日完工,现由甲,乙两组一起做,4天后甲组因另有任务,余下部分由乙组单独做.问还需几天才能完成?甲的工作效率是110乙的工作效率是115分析甲乙合做4天的工作量甲4天的工作量乙4天的工作量余下部分乙的工作量甲4天的工作量+乙4天的工作量+余下部分乙的工作量=11.某装潢公司接到一项业务,如果由甲组做需10天完成,由乙组做需15天完成.为了早日完工,现由甲,乙两组一起做,4天后甲组因另有任务,余下部分由乙组单独做.问还需几天才能完成?解：设乙组还需x天才能完成,根据等量关系可得化简，得解得，答：还需5天才能完成。441101515x5x20+2x=30航行问题常用的等量关系是：（1）顺水速度=静水速度+水流速度（2）逆水速度=静水速度-水流速度（3）顺速—逆速=2水速；顺速+逆速=2船速（4）顺水的路程=逆水的路程解:设汽船逆水航行从乙地到甲地需x小时，则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x－1.5)千米,逆水航行的距离是(18－2)x千米。等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。依题意得：(18+2)(x－1.5)=(18－2)xx=7.5(18－2)×7.5=120答:甲、乙两地距离为120千米。练习五:汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？