演示文稿11

第一节随机过程的定义及分类一.随机过程的概念概率论复习：随机试验E,样本空间={e}.二维随机变量(X,Y)，联合分布函数F(x,y)n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，联合分布函数12(,,,)nFxxx随机变量X=X(e),分布函数F(x)；1122{,,,}nnPXxXxXx以N(t)表示某电话交换台在时段[0,t)内接到的呼叫次数,那么,对于固定的t,N(t)是一个随机变量.对于一切t,{N(t),t[0,+)}是一个随机变量族.它的个数比可列个还要多,不属于前面概率论的研究范围,具有新的特点.称{N(t),t[0,+)}是一个随机过程.为了研究随机现象,引入了上述这些概念工具.但这些还不够用,还有一些随机现象,上述工具无法描述.例如例1在一条自动生产线上检验产品质量,每次检验一个,区分正品或次品.那么,整个检验的样本空间={正品,次品}.为了描述检验的全过程,引入二元函数,...},...,3,2,1{.,,,0),(nTttttteX次查出次品第次查出正品第则二元函数X(e,t)就是一个随机过程.例2随机相位正弦波X(t)=cos(t+),～U(0,2),t(,+).这里X(e,t)是随机过程.定义1设随机试验E的样本空间={e},T是一个非空集合,T(,+).如果对于每个e,对应的有参数的函数X(e,t),tT,那么,对于所有的e,得到一族t的函数{X(e,t),tT|e}称为随机过程,简称过程.(2)状态变量:任意给定的t0T,X(e,t0)=X(t0)是一个随机变量,称为随机过程在t0时的状态变量,简称状态.(3)状态空间:函数值集合{X(e,t)|e,tT}称为随机过程的状态空间.它是二元函数的值域,记为S.几个概念:(1)样本函数:x1(t),x2(t),…，等等对于中的每一个e0,X(e0,t)=x(t)是仅依赖于t的函数,称为随机过程的样本函数,它是随机过程的一次物理实现或对应于e0的轨道.定义2给定参数集T,如果对于每个tT,对应有随机变量X(t),则称随机变量族{X(t)|tT}为随机过程.对于所有tT,随机过程X(t)是一族随机变量.于是得到另一种定义方式:二.随机过程的分类通常有两种分类法.一种是按随机过程的参数集和状态空间来分类;另一种是按随机过程的概率结构来分类.参数集T可能为离散集或连续集,状态空间S可能为离散集或连续集.(1)T离散,S离散;(2)T离散,S连续;(3)T连续,S离散;(4)T连续,S连续.离散参数随机过程是随机变量序列,简称随机序列.一般地记Xn=X(tn).即}{},,,,),({21nnXtttttX随机变量序列按随机过程的概率结构来分,随机过程的种类很多.这里列举几个重要类型:•二阶矩过程.包括正态过程,平稳过程等;•马尔可夫过程.包括马尔可夫链,泊松过程,维纳(Wiener)过程,扩散过程等;•更新过程;•鞅.第二节随机过程的概率分布设{X(t),tT}是一随机过程,对于参数集T中的任意n个元素:t1,t2,,tn,过程的n个状态:),()(,),,()(),,()(2211nnteXtXteXtXteXtX恰为n个随机变量,它们的联合分布})(,,)({),,;,,(1111nnnnxtXxtXPttxxF称为随机过程X(t)的n维分布函数(有限维分布),,3,2,1n——有限维分布如果存在非负函数,使得成立,则称为随机过程X(t)的n维概率密度.n=1,2...),,;,,(11nnttxxf),,;,,(11nnttxxFnnnxxxdxdxttxxfn111),,;,,(21f一维分布函数:1111(;){()}FxtPXtx二维分布函数:})(,)({),;,(22112121xtXxtXPttxxF一般来说,分布函数族或概率密度族可以完全地确定了随机过程的统计特征.特殊地,如果对于任何正整数n,随机过程的任意n个状态都是相互独立的,则称此过程为独立过程.例1在第一节例1中,设各次检验相互独立地进行,每次检验的次品率为p(0p1),求随机过程X(t)在t1=1和t2=2时的二维分布函数.,01pp)(tX11t22t解：X(1)和X(2)的分布律分别为X(1)01P1-ppX(2)02P1-pp100(;1){(1)}10111xFxPXxpxx200(;2){(2)}10212xFxPXxpxxX(1)的1维分布函数为：X(2)的1维分布函数为：由于X(1)与X(2)相互独立，故它们的2维联合分布函数为：121122(,;1,2)(;1)(;2)FxxFxFx12212112212000(1)01020111202112xxpxxxxpxxxx或且或且例2设随机过程,式中X与Y是相互独立的标准正态随机变量.试求此过程的一维概率密度.0,)()(22ttYXtZ解：设t00,是一个确定的值,则Z(t0)=(X2+Y2)t0,是一个1维随机变量.22000(;){()}{())}FztPZtzPXYtz22220122/exp()xyxyztdxdy021exp()zt当z0时，当z0时，F(z;t0)=021exp()0;00ztzFztz122exp()0(;)(;)00zttddzzfztFztz所以Z(t)的1维分布函数为Z(t)的1维概率密度为其中t0两个随机过程有限维联合分布：组成m+n维随机向量.其分布函数),,,,,;,,,,,(''1111nmnmXYttttyyxxF称为随机过程X(t)和Y(t)的m+n维联合分布函数.''11(),...,(),(),...,()mnXtXtYtYt1{(),}XttT2{(),}YttT设和是两个随机过程,将X(t)的任意m个状态及将Y(t)的任意n个状态两个随机过程的独立：如果对于任何正整数m和n,对于T1中的任意数组以及T2中的任意数组,关系式),,,,,;,,,,,(''1111nmnmXYttttyyxxF),,;,,(11mmXttxxF),,;,,(''11nnYttyyF都成立,则称两个随机过程相互独立.1{(),}XttT2{(),}YttT设和是两个随机过程,随机变量数字特征X,Y为随机变量,联合概率密度),,(yxf边沿概率密度)(),(yfxfYX数学期望(均值)dxdyyxxfdxxxfEXX),()()],([YXgEdxdyyxfyxg),(),(二阶原点矩dxdyyxfxdxxfxEXX),()(222第三节随机过程的数字特征方差dxxfEXxEXXEDXX)()()(2222)(EXEX二阶原点混合矩dxdyyxxyfXYE),()(协方差EYEXXYEEYYEXXEYX)()])([(),cov(相关系数DYDXYXXY),cov(如果,则称与不相关.0XYXY随机过程的数字特征T是参数集,随机变量族{X(t),tT}是一个随机过程,对于任意给定tT,过程在t时刻的状态X(t),是一个随机变量,一维概率密度为);(11txf对于一切tT,X(t)是t的函数,称为随机过程X(t)的均值函数,简称均值.(1)过程在t时刻的状态X(t)的数学期望dxtxxftXEtX);()]([)(1(2)过程在t的状态X(t)的二阶原点矩dxtxfxtXEtX);()]([)(1222称为随机过程X(t)的均方值函数,简称均方值;(3)二阶中心矩22)]()([)]([)(tEXtXEtXDtX2)]()([ttXEX)()]([22ttXEX称为随机过程X(t)的方差函数,简称方差,均方差.)(tX任选t1,t2T,状态X(t1),X(t2)是两个随机变量二维概率密度),;,(21212ttxxf(4)随机过程X(t)的自相关函数,简称相关函数,)]()([),(2121tXtXEttRX212121221),;,(dxdxttxxfxx(5)随机过程X(t)的自协方差函数,简称协方差函数,)]}()([)]()({[),(221121tEXtXtEXtXEttCX)]}()([)]()({[2211ttXttXEXX均值、均方值、方差和均方差是刻划随机过程在各个状态的统计特性的;自相关函数和自协方差函数是刻划随机过程的任何两个不同状态的统计特性的.作业：P.283/1~4),()]()([)]([)(22ttRtXtXEtXEtXX1212(,)cov[(),()]XCttXtXt)()()]()([2121tEXtEXtXtXE)()(),(2121ttttRXXX五个数字特征之间的关系22)]()([)]([)(tEXtXEtXDtX)()]([22ttXEX)()(22ttXX1122{[()()][()()]}EXtEXtXtEXt例1设随机相位正弦波)cos()(tatXt式中是常数,,a是在区间)2,0(上服从均匀分布的随机变量.求:X(t)的均值函数、方差函数、自相关函数和自协方差函数.解:依题意的概率密度为其它,020,21)(f举例(1)均值函数)]cos([)]([)(taEtXEtXdfta)()cos(20021)cos(dta(2)自相关函数)]()([),(2121tXtXEttRX)]cos()cos([21tataE202121)cos()cos(dtata221212120[cos()cos()]2attttd21212cos()att(3)自协方差函数)()(),(),(212121ttttRttCXXXX)(cos2122tta(4)方差函数2),()(22attCtXX例2设随机过程Z(t)=X+Yt,t+式中X~N(1,12),Y~N(2,22),且X与Y的相关系数XY=.求:Z(t)的自相关函数.解：RZ(t1,t2)=E[Z(t1)Z(t2)]=E[(X+Yt1)(X+Yt2)]=E[X2+(t1+t2)XY+t1t2Y2]=E(X2)+(t1+t2)E(XY)+t1t2E(Y2)由于E(X2)=12+12,E(Y2)=22+22E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)=12+12由于E(X2)=12+12,E(Y2)=22+22E(XY)=E(X)E(Y)+Cov(X,Y)=12+12得：RZ(t1,t2)=12+12+t1t2(22+22)+(t1+t2)(12+12)对于两个随机过程{X(t),tT1}和{Y(t),tT2},任选t1T2及t2T2对应有状态X(t1)和状态Y(t2)X(t1)和Y(t2)的二阶原点混合矩)]()([),(2121tYtXEttRXY称为随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数;)]}()()][()({[),(2