演示文稿29(第8章(5))

1《自动控制理论基础》第二十九讲2二、状态转移矩阵已知齐次方程的解的形式为:•x=Ax00(-)00()(0)0()()0ttttettettAAx=xx=x在数学上，称为矩阵指数函数。这里，通常记为：teA0(-)0()(-)tttetorettAA=Φ=Φ3称为状态转移矩阵，故x(t)可改写为：00()()(0)()(-)()ttttttxΦxxΦx它表征了一个系统从初始状态到任意状态的转移和状态变量在状态空间中的不断转移。其几何意义如下图所示：x(0)tx()1tx()2tx()1tΦ()21ttΦ()t04三、状态转移矩阵的性质(1)(0)ΦI、00(0)11(......)2!!ttkktetttkA22ΦI+A+A++A+I1(2)()()ttΦΦ、1()()ttΦΦI而5(-)0()()tttteeeAAAΦΦ=I1()()ttΦΦ100(3)()()ttttΦΦ、00()(-)000()()tttttttteeeAAAΦΦ=I00()()ttttΦΦI100()()ttttΦΦ6121221(4)()()()()()ttttttΦΦΦΦΦ、1221()()121221()()()()()tttttteettttAAΦ=ΦΦΦΦ(5)()()ntntΦΦ、()(...)()()...()()nnttttttttΦΦΦΦΦΦ211020(6)()()()ttttttΦΦΦ、7211021102020()()()()()()()(0)()()ttttttttttttΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ例题：对于线性时不变系统，在下面4个关于状态转移矩阵性质的选项中，其中不正确的是:1.()()Att.()()kBtkt211020.()()()()Ctttttt12121.()()()Dtttt(B)8四、状态转移矩阵的求法1、按定义计算：2211()......2!!kkttttkΦI+A+A++A+例：已知，求。0101A()tΦ90101()ttteeAΦ221001010111......010101012!kktttk23231111......2!3!!11101......2!3!!kkttttkttttk111ttee10此方法手工计算较繁杂，用计算机很方便；另外，计算结果并不是总能写成闭合形式。2、拉氏变换法：0(0)tx=Ax对上式取拉氏变换法:()(0)()sssxxAx1()()(0)ssxI-Ax11()()(0)tLsxI-Ax11而()()(0)ttxΦx11()()tLsΦI-A注意：若A为对角线标准形，则12()..nttteete0Φ012例1：已知系统的状态转移矩阵为：x=Ax222200()0(12)40(12)tttttetteteteteΦ试求系统矩阵A。解：000()tttttdtdeedtdtAAΦAA13022220()000(44)(48)0(12)4100044010tttttttdtdteteteteteΦA14例2：设某二阶系统的齐次状态矩阵为：x=Ax试求该系统的状态转移矩阵Φ(t)和矩阵A。当2(0)1x时2()ttetex当1(0)1x时2()ttttetetetex15解：由可以写出如下方程：0ttx()=Φ()x()2122()11tttttteeteteeteΦ12122()11242tttttttttttteeteteeteeteteteeteΦ16五、线性定常系统的非齐次解1、直接法：设系统的非齐次方程为：x=Ax+BuxAx=Bu两边同乘，则有teA而034()11tdtdtΦA17()tteeAAxAx=Bu即为：()()ttdetetdtAAx=Bu000()()()ttttetetedAAAxx=Bu00()()0()()()ttttttetedAAxxBu对上式在区间内积分，则有0tt18000()()()()ttttttdΦxΦBu若t0=0，则0()()(0)()()ttttdxΦxΦBu2、拉氏变换法：0(0)tx=AxBu对上式取拉氏变换法:()(0)()()ssssxxAxBu1911()()(0)()()ssssxI-AxI-ABu故1111()()(0)()()tLsLssxI-AxI-ABu例：求下列系统的时域响应：101111uxx其中：u(t)=1(t)；；求x(t)。(0)10Tx20解:(1)、先求，有()tΦ232323.()111...02!3!111...1...2!2!3!0ttttatettttttttteteeAΦ2112101.()11(1)1sbsssIA110()()tttetLsteeΦIA结果完全一样；（2）、将代入解的形式，即有()tΦ220()()(0)()()ttttdxΦxΦBu0()(0)()()ttdΦxΦBu1012102ttttttteeeteetete238.6习题:7(1);10(1),(3);11(1),(4);12(3);1524再见