1.2概率的定义及其确定方法(陈)

概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法1.2概率的定义及其确定方法概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法课题:概率的定义及其确定方法教学目的要求：通过本节的学习,掌握频率与概率的概念及其性质.教学重点：概率的性质及公理化定义.教学难点：概率的公理化定义.教学课时:2课时教学方法:讲授与多媒体辅助教学§1.2概率的定义及其确定方法概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法教学内容与步骤•定义:随机事件A发生可能性大小的度量(数值),称为A发生的概率,记作P(A).•对于一个随机事件(必然事件和不可能事件除外)来说,它在一次试验中可能发生,也可能不发生.我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟有多大,找到一个合适的数来表示事件在一次试验中发生的可能性大小.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法§1.2.1概率的公理化定义定义:设Ω为一个样本空间，={A|AΩ,A是事件}，如果对任一事件A，赋予一个实数P(A).如果集合函数P(.)满足下列条件：（1)非负性公理：对于每一事件A,有P(A)≥0;(2)正则性公理：P(Ω)=1;(3)可列可加性公理:设A1,A2,…是互不相容的事件,即对于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,则有则称P（A）为事件A的概率(Probability)，11)()(iiiiAPAP概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法概率空间的定义：由上面的讨论可知,描述一个随机试验的数学模型应该有三件东西:(1)样本空间Ω;(2)事件域(δ-代数)ℱ;(3)概率(ℱ上的规范测度)P.习惯上常把这三者写成(Ω,ℱ,P)并称它是一个概率空间(Probabilityspace)．由此,给出一个具体的随机试验,数学上就可以把它抽象成一个概率空间(Ω,ℱ,P)．概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法§2.2排列与组合公式乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法ABC加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。AB概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法有重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列.共有nk种排列方式.无重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列.共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k个.k)!(nk!n!k!PknCknkn共有种取法.重复组合:从含有n个元素的集合中随机抽取k个，每次取一个，记录其结果后放回.)!(nk!1)!-k(nk1-knCk1-kn1共有种取法.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法§1.2.3确定概率的频率方法(TheFrequencydefinitionofprobability)•定义:在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).频率具有下述性质:（1）0≤fn(A)≤1;（2）fn(Ω)=1;（3）若A1,A2,…,Ak是两两互不相容的事件,则§1.2.3.1频率(Frequency)11()()kknniiiifAfA概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法§1.2.3.2频率的性质•性质1：0≤fn(A)≤1.•证明：nA≥0，所以nA/n≥0,nA≤n故有0≤fn(A)=nA/n≤1•性质2:fn(Ω)=1.•证明:nS=n，所以nS/n=1从而fn(Ω)=nS/n=1概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法•性质3:若A,B是是两两互不相容的事件,则•证明:因为A+B发生,意味着A,B中至少有一个发生;又因为A,B是互不相容,所以A+B发生的次数一定是A发生的次数与B发生的次数之和,即nA∪B=nA+nB从而有)()()(BfAfBAfnnn)()()(BfAfBAfnnn概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法历史上抛掷匀质硬币的若干结果§1.2.3.3概率的统计定义试验者抛掷次数n正面出现次数m正面出现频率m/n德.摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法•定义:在相同的条件下,进行了n次重复试验,在这n次试验中,事件A发生了nA次,当试验的次数n很大时,如果事件A发生的频率fn(A)=nA/n稳定在某一数值p的附近摆动,而且随着试验次数的增大,这种摆动的幅度越变越小,则称数值p为事件A在这组条件下发生的概率,记作P(A)=p.这样定义的概率称为统计概率.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法§1.2.4确定概率的古典方法(ClassicalProbability)•具有以上两个特点的随机试验称为古典概型,也称为等可能概型.•在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特点的随机试验:(1)试验的样本空间的元素只有有限个;(2)试验中每个基本事件发生的可能性相同.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法•抛一枚硬币三次抛三枚硬币一次•Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}此样本空间中的样本点等可能.•Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}此样本空间中的样本点不等可能.注意概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法古典概型的计算公式•因此，若事件A={ei1}∪{ei2}∪…∪{eik}包含k个基本事件,则有P(A)=k/n.•设随机试验的样本空间为S={e1,e2,…,en},由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同,即有P({e1})=P({e2})=…=P({en})•又由于基本事件是两两不相容的,于是有1=P(Ω)=P({e1}∪{e2}∪…∪{en})=P({e1})+P({e2})+…+P({en})=nP({ei})i=1,2,…,n•所以P({ei})=1/ni=1,2,…,n概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法•即样本空间有4个样本点,而随机事件A1包含2个样本点,随机事件A2包含3个样本点,故P(A1)=2/4=1/2P(A2)=3/4例:将一枚硬币抛掷二次,设事件A1为“恰有一次出现正面”;事件A2为“至少有一次出现正面”.求P(A1)和P(A2).•解:正面记为H,反面记为T,则随机试验的样本空间为Ω={HH,HT,TH,TT}而A1={HT,TH}A2={HH,HT,TH}不能将样本空间记为Ω={HH,HT,TT}?概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法15!256)!26(!2!626Cn8241214CCm158)(261214CCCAP例:设有同类产品6件,其中有4件合格品,2件不合格品.从6件产品中任意抽取2件,求抽得合格品和不合格品各一件的概率.•解:设A={抽得合格品和不合格品各一件}.因为基本事件总数等于从6件可以区别的产品中任取2件的组合数目,故有基本事件总数且每一基本事件发生是等可能的.•事件A发生是指从4件合格品和2件不合格品中各抽出一件,抽取方法数,即使事件A发生的基本事件数为所以事件A发生的概率为概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M个白球，NM个黑球)常见模型(1)——不返回抽样MNMmnmNn从中不返回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.nN,mM,nmNM.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法思考题口袋中有5个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3个.求取出的3个球为不同颜色的球的概率.57411114011656043概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.彩票问题——幸运35选7概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法中奖规则1)7个基本号码2)6个基本号码+1个特殊号码3)6个基本号码4)5个基本号码+1个特殊号码5)5个基本号码6)4个基本号码+1个特殊号码7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码彩票问题——幸运35选7购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法中奖概率中所含样本点个数：735C1270061077127127773535,ppCCCCCCCC将35个号分成三类：7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记pi为中i等奖的概率。利用抽样模型得：概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法中奖概率如下：12317189,,672452067245206724520ppp456567737112285,,672452067245206724520ppp72047506724520,p64993500.966515.6724520不中奖的概率为：p0=1p1p2p3p4p5p6p7概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法N个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.从中有返回地任取n个.则此n个中有m个不合格品的概率为：常见模型(2)——返回抽样()mnmmnmnnnMNMMNMmmNNN条件：mn,即m=0,1,2,……,n.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法(1)Ａ：某指定n个盒子中各有一球；(2)Ｂ：恰有n个盒子,其中各有一球;(3)Ｃ：某指定盒子中恰有m(m≤n)个球.解:因为n个球中的每一个球,都以同样的概率进入Ｎ个盒子中的任意一个,所以样本点总数为Nn.(1)n个球分别分配到Ｎ个预先指定的盒子中去,相当于n个球的全排列,因此事件Ａ所包含的样本点数为Pn,于是!()nnnPnPANN常见模型(3)——盒子模型把n个球以同样的概率分配到Ｎ(n≤Ｎ)个不同盒子中的任一个中去,试求下列各事件的概率：概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法!nCnN(2)对于事件Ｂ,ｎ个盒子可自Ｎ个盒子中任意选取,有种选法,因而事件Ｂ包含个样本点,于是!!()()!nNnnCnNPBNNNn(1)11()()(1)mnmmmnmnnnCNPCCNNN(3)事件Ｃ中的ｍ个球,可以从n个球中任意选取有种选法,其余的n-m个球可以任意分配到另外Ｎ-1个盒子中去,有(N-1)n-m种分配法.因而事件Ｃ包含个样本点.这样mnC(1)mnmnCNnNC概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.2概率的定义及其确定方法n个球在Ｎ个盒子中的分布,是一种理想化的概率模型