1.3概率的性质(陈)

概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质1.3概率的性质概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质课题:概率的性质教学目的：通过本节的学习,掌握概率的性质.教学重点：概率的性质.教学难点：概率的加法公式.教学课时:2课时教学方法:讲授与多媒体辅助教学§1.3概率的性质概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质性质1:P()=0.教学内容与步骤证明:设An=(n=1,2,…),则1iiA,且对于jiAAji,.11)()()(iiiiAPAPP1)(iP于是由可列可加性得又由P()≥0得,P()=0注意:逆不一定成立.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质证明:令An+1=An+2=…=,则由可列可加性及P()=0得性质2:若有限个事件A1,A2,…,An是两两互不相容的事件,则有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)上式称为概率的有限可加性.)()(111njniiniiAPAP11)()(njniiPAP0)(11njniiAPniiAP1)(概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质即性质1.3.3:对于任一事件A,有)(1)(APAP证明:因为AA,且AA,因此有)()()()(1APAPAAPP)(1)(APAP概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质例1.3.2抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。例1.3.136只灯泡中4只是60W,其余都是40W,现从中任取3只,求至少取到一只60W灯泡的概率.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质证明:由BA知A=B∪(A-B),且B(A-B)=,性质1.3.4:设A,B是两个事件,若BA,则有P(A-B)=P(A)-P(B)推论：若BA，则P(A)≥P(B)因此由概率的有限可加性得P(A)=P(B)+P(A-B)从而有P(A-B)=P(A)-P(B)1.3.2概率的单调性概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质证明:因为A-B=A-AB,且ABA性质6:对于任意两事件A,B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)故P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)证明:因为AΩ,因此有P(A)≤P(Ω)=1性质1.3.5:对于任一事件A,有P(A)≤1例1.3.3口袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回地任取m次，求取出的m个球的最大号码为k的概率。概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质解:设Ak=“取出的m个球的最大号码为k”Bk=“取出的m个球的最大号码不超过k”(k=1,2,…,n)则1kkkABB又1kkBB11()()()(1),1,2,,kkkkkmmmPAPBBPBPBkkknn如取n=6,m=3,有334343370.17136216PA相当于掷三颗骰子.出现的最大点数为4的概率为0.1713.概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质证明:因为A∪B=A∪(B-AB),且A(B-AB)=,ABB故P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)1111121()()()()...(1)(...)nniiijiijninnijkijknPAPAPAAPAAAPAAA性质7:对于任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式.•概率的加法公式可推广到多个事件的情况.设A,B,C是任意三个事件，则有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)•一般,对于任意n个事件A1,A2,…,An,有概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质推论:对于任意两事件A,B，有P(A∪B)≦P(A)+P(B)上式称为概率的半可加性.•一般，对于任意n个事件A1,A2,…,An,有niiiniAPAP11)()(概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质解：因为P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求P(AB)由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4+0.30.6=0.1所以P(AB)=P(A)P(AB)=0.3例1.3.4P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求P(AB).概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质解：因为A、B、C都不出现的概率为=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/16+1/160=15/8=3/8例1.3.5P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/16,求A、B、C都不出现的概率.()1()PABCPABC概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用对立事件解题解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k1次取到黑球，而第k次取到白球”1(1)()1()1kknPAPAn概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质常见模型(4)——配对模型11()()()nniiijijkiiPAPAPAAPAAA112......(1)(......)nnPAAA例1.3.6(配对问题)在一个有n个人参加的晚会上,每个人带一个礼物,且假定各人带的礼物都不相同,晚会期间各人从放在一起的n件礼物中随机抽取一件,问至少有一个人抽到自己的礼物的概率是多少？解：设Ai=“第i个人抽到自己的礼物”i=1,2,...,n则所求概率为P(A1A2……An)概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质P(Ai)=1/n,P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak)=1/n(n1)(n2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1A2……An)=配对模型(续)1111......(1)2(1)!nnnnnnn1111111......(1)12!3!4!!nen概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质利用对立事件和加法公式补例(P37,8):从1,2,……,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.解：因为“乘积能被10整除”意味着：“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式()1()1()()()8541999nnnnnnPABPABPAPBPAB概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质补例(P37第10题):甲掷硬币n+1次，乙掷n次.求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为P(甲正乙正)=P(n+1-甲反n-乙反)=P(甲反-1乙反)=P(甲反乙反)=1P(甲正乙正)(对称性)所以2P(甲正乙正)=1,由此得P(甲正乙正)=1/2概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4概率的连续性概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质若事件序列{Fn}满足：F1F2…Fn…则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限1limnnnnFF1limnnnnFF若事件序列{Fn}满足：F1F2…Fn…则称{Fn}为单调不增事件序列，其极限事件为概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质设P(·)是一个集合函数，(1)若任对单调不减集合序列{Fn}，有则称P(·)是下连续的.集合函数的连续性(lim)lim()nnnnPFPF(2)若任对单调不增集合序列{Fn}，有则称P(·)是上连续的.(lim)lim()nnnnPFPF概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质概率的连续性性质1.3.7若P(·)是事件域F上的一个概率函数，则P(·)既是下连续的，又是上连续的.可列可加性的充要条件•性质1.3.8•若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合•函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.作业:P36:习题1.3:5,17,21概率论与数理统计第一章随机事件与概率1.3概率的性质教学总结: